[论文解读] Learning Data-Driven Stable Koopman Operators

Giorgos Mamakoukas, Ian Abraham+1 more|arXiv (Cornell University)|May 8, 2020

Model Reduction and Neural Networks参考文献 58被引用 10

一句话总结

本文提出通过约束特征值来学习稳定的Koopman算子，以提升非线性系统数据驱动建模中的长期预测精度。通过构建带有稳定性约束的最小二乘优化问题，该方法确保所有特征值≤1，显著提升了在摆锤、单足步行者和四旋翼飞行器系统中的预测与控制性能。

ABSTRACT

In this paper, we consider the problem of improving the long-term accuracy of data-driven approximations of Koopman operators, which are infinite-dimensional linear representations of general nonlinear systems, by bounding the eigenvalues of the linear operator. We derive a formula for the global error of general Koopman representations and motivate imposing stability constraints on the data-driven model to improve the approximation of nonlinear systems over a longer horizon. In addition, constraints on admissible basis functions for a stable Koopman operator are presented, as well as conditions for constructing a Lyapunov function for nonlinear systems. The modified linear representation is the nearest extit{stable} (all eigenvalues are equal or less than 1) matrix solution to a least-squares minimization and bounds the prediction of the system response. We demonstrate the benefit of stable Koopman operators in prediction and control performance using the systems of a pendulum, a hopper, and a quadrotor.

研究动机与目标

• 解决标准数据驱动Koopman算子因特征值不稳定而导致的长期预测精度差的问题。
• 开发一种方法，在不牺牲数据保真度的前提下，强制Koopman算子近似满足稳定性（所有特征值≤1）。
• 推导稳定Koopman算子的条件，并利用基函数构建非线性系统的李雅普诺夫函数。
• 通过稳定性约束控制全局误差，从而提升系统响应预测与控制性能。

提出的方法

• 推导Koopman表示的全局误差公式，以量化长期近似误差。
• 施加稳定性约束，要求Koopman算子的所有特征值≤1。
• 将最小二乘优化问题与稳定性约束结合，求解最接近数据驱动Koopman算子的稳定矩阵。
• 识别支持稳定Koopman算子且可实现李雅普诺夫函数构造的可接受基函数。
• 利用所得稳定算子约束系统响应预测，提升控制性能。
• 将该方法应用于基准非线性系统：摆锤、单足步行者和四旋翼飞行器，以实证验证其有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 特征值约束如何提升数据驱动Koopman算子近似的长期精度？
• RQ2 基函数需满足何种条件，才能实现稳定Koopman算子及其关联李雅普诺夫函数的构造？
• RQ3 强制稳定性对非线性系统中预测误差与控制性能有何影响？
• RQ4 Koopman表示的全局误差与算子谱特性之间存在何种关系？
• RQ5 能否将稳定Koopman算子计算为最接近最小二乘解的稳定矩阵？

主要发现

• 所提出的稳定Koopman算子相比标准数据驱动Koopman模型，显著降低了长期预测误差。
• 稳定性约束有效限制了系统响应预测，防止轨迹出现无界增长。
• 该方法通过合适的基函数实现了非线性系统李雅普诺夫函数的构造。
• 实证结果表明，在摆锤、单足步行者和四旋翼飞行器系统中，控制性能得到显著提升。
• 稳定Koopman算子被推导为最接近最小二乘解的稳定矩阵，确保了数据拟合与稳定性的最优权衡。
• 通过推导的误差公式，Koopman表示的全局误差可被解析地界定，从而建立了谱特性与预测精度之间的关联。