[论文解读] Learning quantum processes without input control

Marco Fanizza, Yihui Quek+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 4

一句话总结

本文提出了一套针对从经典输入映射到量子输出的量子过程的统计学习理论，无需对输入分布进行控制。通过适配具有统一收敛保证的影子层析与假设选择方法，作者在即使概念类为无限的情况下，仍提供了有限样本的学习算法，建立了在天体物理或生物系统等输入不可控且每输入仅能获得单个副本的场景下，高效学习量子过程的条件。

ABSTRACT

We introduce a general statistical learning theory for processes that take as input a classical random variable and output a quantum state. Our setting is motivated by the practical situation in which one desires to learn a quantum process governed by classical parameters that are out of one's control. This framework is applicable, for example, to the study of astronomical phenomena, disordered systems and biological processes not controlled by the observer. We provide an algorithm for learning with high probability in this setting with a finite amount of samples, even if the concept class is infinite. To do this, we review and adapt existing algorithms for shadow tomography and hypothesis selection, and combine their guarantees with the uniform convergence on the data of the loss functions of interest. As a by-product we obtain sufficient conditions for performing shadow tomography of classical-quantum states with a number of copies which depends on the dimension of the quantum register, but not on the dimension of the classical one. We give concrete examples of processes that can be learned in this manner, based on quantum circuits or physically motivated classes, such as systems governed by Hamiltonians with random perturbations or data-dependent phase-shifts.

研究动机与目标

• 开发一种统计学习框架，用于在输入不可控且从未知分布中采样时，对从经典输入映射到量子输出的量子过程进行学习。
• 克服先前工作要求在受控输入下准备量子态的多个相同副本的局限，实现仅从每个输入的单个非相同副本中进行学习。
• 为无限概念类的量子过程建立有限样本学习保证，即使在真实过程可能不在假设类中的异化设置下也成立。
• 为经典-量子态的影子层析提供充分条件，使得副本成本与经典寄存器维度无关。
• 通过涉及量子线路、随机哈密顿量微扰和数据依赖相位跃迁的实例，展示方法的实际适用性。

提出的方法

• 将假设选择与影子层析的框架适配到输入不可控的经典输入场景，使用基于量子输出的依赖数据损失函数。
• 基于输入样本上输出态的L1范数，为量子过程的概念类引入一种伪度量，以支持统一收敛分析。
• 定义一个依赖于量子系统维度但不依赖于经典输入维度的概念类覆盖数，从而实现有限样本学习。
• 利用损失函数在数据上的统一收敛性来界定泛化误差，确保在有限样本下以高概率实现学习。
• 使用算子范数近似和扰动界（例如使用Dynkin公式）来控制参数微小变化下量子过程之间的距离。
• 通过算子范数不等式和谱扰动理论，为特定类推导出显式的覆盖数界，例如在有界哈密顿量下演化得到的幺正态与受微扰哈密顿量低能子空间上的投影算子。

实验结果

研究问题

• RQ1 当输入不受学习者控制且每个输出态仅能获得单个副本时，能否学习量子过程？
• RQ2 在真实过程可能不在假设类中的异化设置下，确保对无限类量子过程进行有限样本学习的条件是什么？
• RQ3 当经典寄存器维度为无限时，能否将影子层析应用于经典-量子态？若能，其条件是什么？
• RQ4 在无输入控制的情况下，如何界定量子过程类的覆盖数？其样本复杂度由什么决定？
• RQ5 在随机或数据依赖哈密顿量下的幺正演化过程中，学习过程的样本复杂度边界是什么？

主要发现

• 本文建立了损失函数在数据上统一收敛的充分条件，使得即使在概念类无限且无输入控制的情况下，也能以高概率学习量子过程。
• 构建了一个有限样本学习算法，其在高概率下成功，样本复杂度仅依赖于量子系统维度，而不依赖于经典输入维度。
• 对于由有界哈密顿量下幺正演化定义的过程类，覆盖数由系统维度d、哈密顿量范数的上界B以及输入函数的变化量b决定。
• 本文为受微扰哈密顿量低能子空间上的投影算子类提供了阶为(d²)的覆盖数界，显式依赖于扰动强度与能级间隙。
• 改进了经典-量子态的影子层析程序：所需副本数随量子维度增长，但与经典寄存器大小无关。
• 为三类过程推导出显式覆盖数界：(1) 幺正演化态，(2) 固定哈密顿量低能子空间上的投影算子，(3) 受微扰哈密顿量低能子空间上的投影算子，所有类别在所提框架下均具有有限样本复杂度。