[论文解读] Learning, Realizability and Games in Classical Arithmetic

Federico Aschieri|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2010

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文提出了一种名为基于交互学习的可实现性（Interactive Learning-Based Realizability）的新计算语义，用于经典算术，其将证明建模为通过错误驱动学习自我修正的程序。该研究建立了基于学习的可实现性与1-回溯Coquand博弈语义之间的完全语义对应关系，并对经典算术中的学习过程提供了构造性分析，包括对学习长度的界以及对二阶算术中更新过程的超限扩展。

ABSTRACT

In this dissertation we provide mathematical evidence that the concept of learning can be used to give a new and intuitive computational semantics of classical proofs in various fragments of Predicative Arithmetic. First, we extend Kreisel modified realizability to a classical fragment of first order Arithmetic, Heyting Arithmetic plus EM1 (Excluded middle axiom restricted to Sigma^0_1 formulas). We introduce a new realizability semantics we call "Interactive Learning-Based Realizability". Our realizers are self-correcting programs, which learn from their errors and evolve through time. Secondly, we extend the class of learning based realizers to a classical version PCFclass of PCF and, then, compare the resulting notion of realizability with Coquand game semantics and prove a full soundness and completeness result. In particular, we show there is a one-to-one correspondence between realizers and recursive winning strategies in the 1-Backtracking version of Tarski games. Third, we provide a complete and fully detailed constructive analysis of learning as it arises in learning based realizability for HA+EM1, Avigad's update procedures and epsilon substitution method for Peano Arithmetic PA. We present new constructive techniques to bound the length of learning processes and we apply them to reprove - by means of our theory - the classic result of Godel that provably total functions of PA can be represented in Godel's system T. Last, we give an axiomatization of the kind of learning that is needed to computationally interpret Predicative classical second order Arithmetic. Our work is an extension of Avigad's and generalizes the concept of update procedure to the transfinite case. Transfinite update procedures have to learn values of transfinite sequences of non computable functions in order to extract witnesses from classical proofs.

研究动机与目标

• 为算术片段（特别是Heyting算术加EM₁）中的经典证明提供一种构造性、基于学习的计算解释。
• 通过将实现实体建模为通过错误驱动学习自我修正的程序，将Kreisel的修正可实现性扩展至经典逻辑。
• 建立基于学习的可实现性与1-Backtracking博弈语义之间的完全对应关系，并证明其语义正确性与完备性。
• 对经典算术中的学习过程提供构造性分析，包括以Gödel系统T表示的学习长度界。
• 将Avigad的有限更新过程推广至超限序数（例如ω + k），以解释 predicative（可 predicative）经典二阶算术。

提出的方法

• 引入一种新的可实现性语义——交互式学习型可实现性，其中原子实现实体被建模为基于失败进行自我修正的学习代理。
• 将实现实体定义为持续测试、质疑并扩展知识的自我修正程序，其中经典原则使这种学习行为在直觉主义逻辑之上得以实现。
• 构建基于学习的实现实体与1-Backtracking Tarski博弈中递归获胜策略之间的对应关系，证明其语义正确性与完备性。
• 使用非标准自然数对与收敛模（moduli of convergence）构造Gödel系统T的非标准模型，以界定学习过程的长度。
• 将Avigad的有限更新过程推广至超限序数（如ω + k），用于解释经典二阶算术，方法包括ε-替换与关键公式分析。
• 使用杆递归（bar recursion）与类型0递归分析学习过程的终止与收敛性，确保在系统T中获得构造性界。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为Heyting算术加EM₁中的经典证明提供一种构造性、基于学习的计算解释？
• RQ2 基于学习的可实现性与1-Backtracking博弈语义之间的确切对应关系是什么？
• RQ3 经典算术中学习过程的长度能否被构造性地界定？如果可以，如何实现？
• RQ4 Avigad的有限更新过程如何推广至超限序数以适用于二阶算术？
• RQ5 经典原则在直觉主义框架中如何促成自我修正、基于学习的计算？

主要发现

• 交互式学习型可实现性为HA + EM₁中的经典证明提供了语义正确且完备的解释，其实现实体与1-Backtracking Tarski博弈中的递归获胜策略完全对应。
• 本文构造了一个Gödel系统T的非标准模型，其中学习过程由收敛模界定，且这些界本身在系统T中可表示。
• 在ε-替换方法与更新过程中，学习过程的长度被构造性地界定，且该界在系统T中可证明。
• 将更新过程推广至序数ω + k的超限扩展，为predicative经典二阶算术提供了构造性解释。
• 该理论以一种新的基于学习与收敛模的构造性方法，重新证明了Gödel的结果：PA的可证明全函数在系统T中可表示。
• 证明了序数ω + k的更新过程的适当性，表明若所有此类过程均有有限零点，则初等分析是1-一致的。