[论文解读] Leavitt path algebras of separated graphs

Pere Ara, K. R. Goodearl|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2010

Advanced Operator Algebra Research参考文献 26被引用 8

一句话总结

本文引入了分离图 $(E,C)$ 的 Leavitt 路代数 $L_K(E,C)$，通过在每个顶点处引入边的划分，扩展了经典的 Leavitt 路代数。本文证明了这些代数是遗传的，其 $ackslashmathcalackslashmathrmackslash{V}$-幺半群可实现任意锥性阿贝尔幺半群，且迹理想格完全由图论数据决定，并给出了将任意 $(E,C)$ 嵌入到一个细化分离图的构造。

ABSTRACT

The construction of the Leavitt path algebra associated to a directed graph $E$ is extended to incorporate a family $C$ consisting of partitions of the sets of edges emanating from the vertices of $E$. The new algebras, $L_K(E,C)$, are analyzed in terms of their homology, ideal theory, and K-theory. These algebras are proved to be hereditary, and it is shown that any conical abelian monoid occurs as the monoid $\mon{L_K(E,C)}$ of isomorphism classes of finitely generated projective modules over one of these algebras. The lattice of trace ideals of $L_K(E,C)$ is determined by graph-theoretic data, namely as a lattice of certain pairs consisting of a subset of $E^0$ and a subset of $C$. Necessary conditions for $\mon{L_K(E,C)}$ to be a refinement monoid are developed, together with a construction that embeds $(E,C)$ in a separated graph $(E_+,C^+)$ such that $\mon{L_K(E_+,C^+)}$ has refinement.

研究动机与目标

• 通过分离图 $(E,C)$ 在顶点处引入边的划分，推广 Leavitt 路代数。
• 分析新代数 $L_K(E,C)$ 的同调、理想理论和 $K$-理论。
• 证明任意锥性阿贝尔幺半群均可作为 $\mathcal{V}(L_K(E,C))$，即有限生成投射模的幺半群。
• 利用图论数据确定 $L_K(E,C)$ 的迹理想格。
• 建立 $\mathcal{V}(L_K(E,C))$ 为细化幺半群的必要条件，并构造一个细化扩展 $(E_+,C^+)$。

提出的方法

• 将 $L_K(E,C)$ 定义为图 $E$ 的路径代数的商代数，引入 $E^{1*}$，仅在 $C$ 中划分所选定的边集上施加 Cuntz-Krieger 关系。
• 使用图论数据——特别是 $E^0$ 和 $C$ 的子集——来描述 $L_K(E,C)$ 的迹理想格。
• 应用格论构造，通过同构 $\Phi$ 和 $\Psi$ 将 $\mathcal{V}(L_K(E,C))$ 中的序理想与 $L_K(E,C)$ 中的迹理想联系起来。
• 构造分离图 $(E,C)$ 的通用扩展 $(E_+,C^+)$，使得 $\mathcal{V}(L_K(E_+,C^+))$ 为细化幺半群。
• 利用 Thomsen 关于 $K$-理论和动力系统的结果，分析 $C^*$-代数类比 $C^*(E,C)$。
• 利用 $\mathcal{V}(R)$-序理想与迹理想之间的同构，证明迹理想格完全由图数据决定。

实验结果

研究问题

• RQ1 Leavitt 路代数如何通过在顶点处引入边的划分来推广？
• RQ2 $L_K(E,C)$ 的 $\mathcal{V}$-幺半群 $\mathcal{V}(L_K(E,C))$ 的结构是什么？
• RQ3 $L_K(E,C)$ 的迹理想如何通过图论数据来刻画？
• RQ4 $\mathcal{V}(L_K(E,C))$ 在何种条件下是细化幺半群？
• RQ5 任意锥性阿贝尔幺半群是否都能作为某个分离图 $(E,C)$ 的 $\mathcal{V}(L_K(E,C))$ 实现？

主要发现

• 对于任意分离图 $(E,C)$，代数 $L_K(E,C)$ 是遗传的。
• 任意锥性阿贝尔幺半群均可作为某个分离图 $(E,C)$ 的 $\mathcal{V}(L_K(E,C))$ 实现。
• $L_K(E,C)$ 的迹理想格同构于满足 $S \subseteq E^0$ 和 $T \subseteq C$ 的某些对 $(S, T)$ 的格，且完全由图论数据决定。
• 存在一种构造方法，可将任意分离图 $(E,C)$ 嵌入到一个细化分离图 $(E_+,C^+)$ 中，使得 $\mathcal{V}(L_K(E_+,C^+))$ 为细化幺半群。
• 同构 $\Phi$ 和 $\Psi$ 建立了 $\mathcal{V}(L_K(E,C))$ 中的序理想与 $L_K(E,C)$ 中的迹理想之间的完全格同构。
• $C^*$-代数类比 $C^*(E,C)$ 包含 $L_K(E,C)$ 作为一个稠密的 $*$-子代数，且其 $K$-理论可通过 Thomsen 的结果计算。