[论文解读] Lecture notes on the Kähler-Ricci flow

Jian Song, Ben Weinkove|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2012

Geometry and complex manifolds参考文献 46被引用 14

一句话总结

本文对紧致凯勒流形上的凯勒-里奇流提供了全面的导论，建立了长时间存在性、收敛性及奇点分析。研究证明，具有有限时间奇点的曲面上，该流会坍塌为一个纤维化曲面，体积按线性或二次速率衰减，具体取决于初始类，并通过几何手术和典范度量将该流与极小模型程序联系起来。

ABSTRACT

These lecture notes give an introduction to the Kahler-Ricci flow. They are based on lectures given by the authors at the conference "Analytic Aspects of Complex Algebraic Geometry", held at the Centre International de Rencontres Mathematiques in Luminy, in February 2011.

研究动机与目标

• 为复几何与微分几何领域的研究人员提供凯勒-里奇流的自包含导论。
• 分析紧致凯勒流形上凯勒-里奇流的最大存在时间，特别是与曲率和体积坍塌的关系。
• 建立极小模型程序中的代数手术与凯勒-里奇流中的几何手术之间的对应关系。
• 研究负、零与正典范丛情形下流的长时间行为，包括收敛到典范度量。
• 通过体积衰减速率与极限度量，将分析极小模型程序与凯勒-里奇流联系起来。

提出的方法

• 使用度量和曲率在凯勒-里奇流下的抛物演化方程，包括凯勒势的抛物蒙日-安培方程。
• 应用最大值原理与曲率估计，控制流过程中的平均曲率与里奇曲率。
• 运用拟凸势论与多复变上同调分析正性与上同调障碍。
• 通过度量的迹与平均曲率演化方程分析体积形式与度量演化。
• 利用恩里克斯-科代雅复曲面分类法，根据科代雅维数对有限时间奇点进行分类。
• 通过将度量按 $1/t$ 进行缩放，研究归一化流与渐近行为，以在典范模型上提取极限度量。

实验结果

研究问题

• RQ1 凯勒-里奇流在何种条件下可全局存在？在何种条件下会形成有限时间奇点？
• RQ2 当流逼近有限时间奇点时，流形的体积如何衰减？这对几何有何含义？
• RQ3 极小模型程序中的代数手术与凯勒-里奇流中的几何手术之间存在何种关系？
• RQ4 对于科代雅维数为 0、1 或 2 的流形，归一化凯勒-里奇流在长时间极限下的行为如何？
• RQ5 凯勒-里奇流是否能以与带缩放的极小模型程序相对应的方式在奇点处继续演化？

主要发现

• 若凯勒-里奇流产生有限时间奇点，则当 $t \to T^-$ 时，流形的体积趋于零，且流形双有理等价于一个纤维化曲面。
• 当体积按 $\text{Vol}_{g(t)}X \sim C(T-t)^2$ 二次衰减时，流形为法诺流形，且初始度量 $\omega_0$ 属于 $Tc_1(X)$。
• 当体积按 $\text{Vol}_{g(t)}X \sim C(T-t)$ 线性衰减时，流形非法诺，且 $\omega_0$ 不是 $c_1(X)$ 的倍数。
• 当 $c_1(X) < 0$ 时，归一化流光滑收敛到凯勒爱因斯坦度量，平均曲率一致有界。
• 当 $c_1(X) = 0$ 时，流光滑收敛到卡拉比-丘曲面上的里奇平坦凯勒度量。
• 当 $c_1(X) > 0$ 且科代雅维数为 2 时，$rac{1}{t}g(t)$ 在当前意义下收敛到典范模型上光滑轨道丛凯勒爱因斯坦度量的拉回。