[论文解读] Lectures on Poisson groupoids

Camille Laurent-Gengoux, Mathieu Stiénon+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 44被引用 12

一句话总结

本文發展了泊松胚群與其無限小對應物——李雙胚叢的理論，建立了普遍提升定理，使 quasi-Lie 雙胚叢與泊松 Nijenhuis 結構得以整合。主要貢獻在於證明了 quasi-Poisson 胚群的哈密頓空間與以 $D/G$ 為值的動量映射之 quasi-Poisson 空間之間存在雙射，從而統一了 Alekseev 與 Kosmann-Schwarzbach 的動量映射理論框架於泊松幾何之中。

ABSTRACT

In these lecture notes, we give a quick account of the theory of Poisson groupoids and Lie bialgebroids. In particular, we discuss the universal lifting theorem and its applications including integration of quasi-Lie bialgebroids, integration of Poisson Nijenhuis structures and Alekseev and Kosmann-Schwarzbach's theory of D/G-momentum maps.

研究动机与目标

• 發展泊松胚群及其無限小對應物——李雙胚叢的完整理論，作為泊松群與辛胚群的推廣。
• 建立普遍提升定理作為將 quasi-Lie 雙胚叢整合至泊松胚群的核心工具。
• 在 quasi-Poisson 胚群的框架內，統一並擴展 Alekseev 與 Kosmann-Schwarzbach 的 $D/G$-動量映射理論。
• 釐清透過辛與 quasi-Poisson 胚群整合泊松流形的幾何與代數結構。
• 展示普遍提升定理如何促進 quasi-Poisson 胚群之哈密頓空間的構造，及其與 quasi-Poisson 空間的對應關係。

提出的方法

• 應用普遍提升定理，利用 Lie 雙胚叢 $A$ 上的 $igwedge^ullet A$ 上的微分 Gerstenhaber 代數結構，將 quasi-Lie 雙胚叢整合至泊松胚群。
• 運用 Manin 三元組與 quasi-Manin 三元組的理論，透過雙重李代數 $rak{d}$ 及其子代數 $rak{g}$ 與 $rak{h}$，構造 quasi-Poisson 胚群的範例。
• 透過 $rak{g}$ 的正交基與伴隨作用，構造胚群 $G \times D/G \rightrightarrows D/G$ 上的可乘雙向量場 $ ilde{\Pi}$。
• 李雙胚叢在哈密頓空間上的無限小作用誘導出映射 $\hat{Y} \in \mathfrak{X}(X)$，用以定義 quasi-Poisson 條件中的 3-形式 $\hat{\Omega}$，即 $\frac{1}{2}[\Pi_X, \Pi_X] = \hat{\Omega}$。
• 透過乘積泊松結構下作用圖在 $\Gamma \times X \times X$ 中的共 isotropy 性質，編碼作用與雙向量場之間的相容性。
• 透過明確構造與動量映射條件的驗證，建立哈密頓 $\Gamma$-空間與具有 $D/G$-值動量映射之 quasi-Poisson 空間之間的對應關係。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用普遍提升定理將 quasi-Lie 雙胚叢整合至泊松胚群？
• RQ2 由 quasi-Manin 三元組所產生之 quasi-Poisson 胚群的精確幾何結構為何？
• RQ3 quasi-Poisson 胚群 $\Gamma$ 的哈密頓 $\Gamma$-空間與具有 $D/G$-值動量映射之 quasi-Poisson 空間之間的關係為何？
• RQ4 何種條件可確保胚群上可乘雙向量場整合出李雙胚叢結構？
• RQ5 群 $G$ 對 $D/G$ 透過穿衣變換的作用，與 quasi-Poisson 框架下的動量映射有何關係？

主要发现

• 普遍提升定理提供了一套系統化的方法，將 quasi-Lie 雙胚叢整合至泊松胚群，推廣了 Drinfeld 對李雙代數的理論。
• 當配備雙 invariant 3-形式 $\Omega$ 時，具共軛作用之變換胚群 $G \times G \rightrightarrows G$ 與特定可乘雙向量場 $\Pi$，形成一個 quasi-Poisson 胚群。
• 對於 quasi-Manin 三元組 $(\frak{d}, \frak{g}, \frak{h})$，胚群 $G \times D/G \rightrightarrows D/G$ 天然地攜帶一個 quasi-Poisson 結構，包含可乘雙向量場與一閉合 3-形式 $\Omega$。
• 存在一個自然的雙射，將 quasi-Poisson 胚群 $\Gamma = G \times D/G \rightrightarrows D/G$ 的哈密頓 $\Gamma$-空間與具有 $D/G$-值動量映射之 quasi-Poisson 空間對應起來。
• 動量映射 $J: X \to D/G$ 滿足 $\Pi_X^\sharp(J^*\theta_s) = - (\lambda(\theta_s))_X$，此條件與 Alekseev 與 Kosmann-Schwarzbach 意義下的 quasi-Poisson 空間條件一致。
• 條件 $\frac{1}{2}[\Pi_X, \Pi_X] = \hat{\Omega}$ 確保了哈密頓空間 $X$ 携帶與胚群作用及李雙胚叢無限小作用相容的 quasi-Poisson 結構。