[论文解读] Lectures on the Langlands Program and Conformal Field Theory

Edward Frenkel|ArXiv.org|Dec 15, 2005

Black Holes and Theoretical Physics被引用 6

一句话总结

本文建立了几何朗兰兹纲领与二维共形场论（CFT）之间的深层联系，证明了几何朗兰兹中的赫克特征层对应于具有基姆-莫迪对称性的CFT中的共形块。它表明，G-主丛模空间上的扭D-模源自WZW模型，而临界水平的chiral代数通过韦伯形式和T对偶性编码了几何朗兰兹对应关系，统一了数论中的对偶性与量子场论中的对偶性。

ABSTRACT

These lecture notes give an overview of recent results in geometric Langlands correspondence which may yield applications to quantum field theory. We start with a motivated introduction to the Langlands Program, including its geometric reformulation, addressed primarily to physicists. I tried to make it as self-contained as possible, requiring very little mathematical background. Next, we describe the connections between the Langlands Program and two-dimensional conformal field theory that have been found in the last few years. These connections give us important insights into the physical implications of the Langlands duality.

研究动机与目标

• 将几何朗兰兹纲领与二维共形场论（CFT）相连接，特别是针对半单群。
• 解释几何朗兰兹中的赫克特征层如何从具有基姆-莫迪对称性的CFT中的共形块中涌现。
• 证明WZW模型在临界水平的chiral代数通过韦伯形式和朗兰兹对偶群实现了几何朗兰兹对应关系。
• 阐明在卡普斯汀-维滕S对偶性背景下，Bun_G上的扭D-模作为物理D-膜的角色。
• 表明CFT中的傅里叶-穆凯伊变换与T对偶性为几何朗兰兹对应关系提供了物理实现。

提出的方法

• 利用WZW模型在G-主丛模空间（Bun_G）上构造共形块的层作为D-模。
• 利用临界水平的chiral代数及其中心来定义满足赫克特征层性质的D-模。
• 应用德林费尔德-索科洛夫约化与米尤拉变换，将韦伯形式与共形块及D-模联系起来。
• 通过WZW模型及其在临界水平的自由场实现，引入Bun_G上的扭D-模。
• 利用WZW模型的T对偶性，在几何朗兰兹对应关系中实现朗兰兹对偶群。
• 应用黎曼-希尔伯特对应关系与奇异层理论，将局部系统与D-模及赫克特征层联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有基姆-莫迪对称性的二维CFT中的共形块如何实现几何朗兰兹纲领中的赫克特征层？
• RQ2 临界水平的chiral代数在编码几何朗兰兹对应关系中起什么作用？
• RQ3 WZW模型中的T对偶性如何体现G与其对偶群G∨之间的朗兰兹对偶性？
• RQ4 曲面上的韦伯形式与作为赫克特征层的D-模之间有何对应关系？
• RQ5 Bun_G上的扭D-模如何从WZW模型的余不变量层中涌现？

主要发现

• Bun_G上的共形块层与扭D-模同构，为赫克特征层提供了物理实现。
• WZW模型在临界水平的chiral代数具有一个中心，该中心对韦伯形式进行分类，而韦伯形式在几何朗兰兹对应关系中具有核心作用。
• WZW模型在临界水平下产生满足赫克特征层性质的Bun_G上的D-模，这通过米尤拉变换实现。
• WZW模型中的T对偶性将朗兰兹对偶群G∨实现为S对偶理论的规范群，从而将S对偶性与朗兰兹对偶性联系起来。
• 几何萨塔克等价性与仿射格拉斯曼ian为该对应关系提供了范畴框架，其中环路群的表示作用于D-模的范畴上。
• CFT中的非交换傅里叶-穆凯伊变换对应于几何朗兰兹对应关系，其中余不变量层的傅里叶-穆凯伊变换产生赫克特征层。