[论文解读] Lectures on the Strominger system

Mario García-Fernández|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 78被引用 23

一句话总结

本文全面介紹了斯特罗明格系统——一个源自异位弦理论与非凯勒复几何的偏微分方程组。它建立了与平衡度量、赫尔米特-杨-米尔斯联络、广义几何及弦结构的联系，并通过椭圆理论与从模空间到弦类的通量映射，展示了模问题的最新进展，为卡拉比-丘流形之外的镜像对称提供了几何框架。

ABSTRACT

These notes give an introduction to the Strominger system of partial differential equations, and are based on lectures given in September 2015 at the GEOQUANT School, held at the Institute of Mathematical Sciences (ICMAT) in Madrid. We describe the links with the theory of balanced metrics in hermitian geometry, the Hermite-Yang-Mills equations, and its origins in physics, that we illustrate with many examples. We also cover some recent developments in the moduli problem and the interrelation of the Strominger system with generalized geometry, via the cohomological notion of string class.

研究动机与目标

• 将斯特罗明格系统作为卡拉比问题在非凯勒复流形上的自然推广进行介绍。
• 阐明该系统在异位弦紧化中的物理起源及其与共形场论的联系。
• 利用广义几何与弦类的上同调概念，探索解的模空间。
• 建立从模空间到实弦上同调的通量映射，实现模的稳定化，并在纤维上可能诱导出凯勒结构。
• 通过整数弦类，提出针对非凯勒卡拉比-丘三流形的斯特罗明格-杨-扎斯洛类型镜像对称。

提出的方法

• 将斯特罗明格系统形式化为包含平衡度量、赫尔米特-杨-米尔斯联络与四形式异常条件的耦合方程组。
• 应用椭圆微分算子理论，构造在微分同胚作用下模的有限维无穷小形变空间。
• 利用库兰西方法构建解的轨道空间的局部截面，从而获得局部模空间结构。
• 引入通量映射 $\vartheta: \mathcal{M} \to H^3_{\text{str}}(P,\mathbb{R})$，通过其弦类对解进行分类。
• 通过每个通量类 $[\hat{H}]$ 的校准结构 $E_{[\hat{H}]}$，将模空间与传递的考朗代数丛联系起来。
• 分析通量映射的纤维 $\vartheta^{-1}([\hat{H}])$ 的几何结构，其作为可能的凯勒模空间，在奇点之外自然携带凯勒结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 斯特罗明格系统如何将卡拉比问题推广至非凯勒复流形，特别是在复维度三的情形？
• RQ2 弦类在组织解的模空间中起什么作用？通量映射如何通过模的稳定化实现？
• RQ3 广义几何，特别是通过考朗代数丛，如何为斯特罗明格系统的模问题提供几何框架？
• RQ4 通量映射 $\vartheta^{-1}([\hat{H}])$ 的纤维能否赋予凯勒结构？这与特殊凯勒几何有何关联？
• RQ5 整数弦类 $[\hat{H}] \in H^3_{\text{str}}(P,\mathbb{Z})$ 在斯特罗明格-杨-扎斯洛镜像对称构造中具有何种意义？

主要发现

• 斯特罗明格系统是椭圆型的，当赋予自然微分结构时，其模空间为有限维。
• 有限维空间 $H^1(S^*)$ 参数化了在 $\operatorname{Aut}_0P$ 作用下模的无穷小形变，从而支持局部模理论。
• 通量映射 $\vartheta: \mathcal{M} \to H^3_{\text{str}}(P,\mathbb{R})$ 提供了解的上同调分类，每个纤维对应一个固定的弦类。
• 每个纤维 $\vartheta^{-1}([\hat{H}])$ 被解释为在传递考朗代数丛 $E_{[\hat{H}]}$ 上的 Killing 伴影方程解的模空间，推广了特殊凯勒几何的概念。
• 纤维在奇点之外自然携带凯勒结构，其来源于复结构与平衡类变化的 $\tau$-稳定全纯向量丛族。
• 整数性条件 $[\hat{H}] \in H^3_{\text{str}}(P,\mathbb{Z})$ 对 $T$-对偶性至关重要，可能构成非凯勒卡拉比-丘三流形的斯特罗明格-杨-扎斯洛镜像对称的基础。