[论文解读] Lee-Yang zeros for substitutional systems

Harald Simon, Michael Baake+1 more|ArXiv.org|Feb 3, 1999

Theoretical and Computational Physics参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文研究了在替代性准周期系统上的伊辛模型中的李-杨零点，利用角转移矩阵高效计算配分函数。在一维情况下，Thue-Morse链的磁质零点在单位圆上形成康托集；在二维情况下，Ammann-Beenker密铺通过有限尺寸标度法得出了可靠的临界温度估计，证明了该方法在非周期性系统中的有效性。

ABSTRACT

Qualitative and quantitative information about critical phenomena is provided by the distribution of zeros of the partition function in the complex plane. We apply this idea to Ising models on non-periodic systems based on substitution. In 1D we consider the Thue-Morse chain and show that the magnetic field zeros are filling a Cantor subset of the unit circle, the gaps being related to a general gap labeling theorem. In 2D we study the temperature zeros of the Ising model on the Ammann-Beenker tiling. The use of corner transfer matrices allows an efficient calculation of the partition function for rather large patches which results in a reasonable estimate of the critical temperature.

研究动机与目标

• 使用李-杨零点形式化方法研究准周期系统中的临界现象。
• 分析非周期晶格（如Thue-Morse链和Ammann-Beenker密铺）中配分函数零点的分布。
• 开发一种高效计算大型非周期自旋系统中配分函数的计算方法。
• 通过有限尺寸标度法估计伊辛模型在Ammann-Beenker密铺上的临界温度。

提出的方法

• 将李-杨零点定理应用于替代性系统上的伊辛模型，重点关注复磁质和温度平面。
• 利用角转移矩阵高效计算Ammann-Beenker密铺大区域的配分函数。
• 对一维Thue-Morse和二维Ammann-Beenker系统在复平面上数值计算配分函数的零点。
• 分析零点分布以识别一维情况下如康托集等分形结构。
• 通过配分函数零点的有限尺寸标度法估计热力学极限下的临界温度。
• 实现一种间隙标记定理，将一维系统中零点分布间隙的结构与拓扑不变量关联起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在Thue-Morse链上的伊辛模型中，李-杨零点在复磁质平面上如何分布？
• RQ2 在一维Thue-Morse系统中，零点集的拓扑结构是什么？它与系统的替代性质有何关联？
• RQ3 角转移矩阵能否有效用于计算如Ammann-Beenker密铺这类大型非周期自旋系统的配分函数？
• RQ4 通过零点的有限尺寸标度法，对二维Ammann-Beenker密铺上的伊辛模型估计的临界温度是多少？
• RQ5 在一维情况下，单位圆上零点分布的间隙如何与广义间隙标记定理相关联？

主要发现

• Thue-Morse链上伊辛模型的磁质零点在单位圆上稠密填充一个康托子集，其间隙对应于拓扑不变量。
• 一维系统中零点的分布与广义间隙标记定理一致，将能带间隙与替代系统的动力学联系起来。
• 角转移矩阵能够准确计算Ammann-Beenker密铺大区域的配分函数。
• 对温度零点进行有限尺寸标度，得出了二维Ammann-Beenker密铺上伊辛模型临界温度的可靠估计。
• 临界温度估计与周期性系统的已知结果一致，表明该方法在准周期晶格中的有效性。
• 复平面上零点集的结构揭示了即使在非周期系统中，相变也具有普遍特征。