[论文解读] Lefschetz and Hirzebruch-Riemann-Roch formulas via noncommutative motives

Denis-Charles Cisinski, Gonçalo Tabuada|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2011

Advanced Topics in Algebra参考文献 7被引用 5

一句话总结

本文利用非交换动机的框架，建立了Lefschetz与Hirzebruch-Riemann-Roch定理的非交换类比。结果表明，Lunts与Shklyarov的公式可形式地从微分graded范畴上的对称张量加法不变量中导出，通过动机迹与配对构造，在范畴设定下统一了这些公式。

ABSTRACT

V. Lunts has recently established Lefschetz fixed point theorems for Fourier-Mukai functors and dg algebras. In the same vein, D. Shklyarov introduced the noncommutative analogue of the Hirzebruch-Riemann-Roch theorem. In this short article, we see how these constructions and computations formally stem from their motivic counterparts.

研究动机与目标

• 在统一的动机框架下，将Lunts的非交换Lefschetz公式与Shklyarov的非交换Hirzebruch-Riemann-Roch定理统一起来。
• 证明这些公式是光滑且拟紧微分graded范畴上对称张量加法不变量的形式推论。
• 通过非交换动机与实现映射，建立Grothendieck-Riemann-Roch定理的范畴解释。
• 表明Hochschild同调与Weil上同调理论中的迹与配对结构，是动机构造的特例。
• 通过非交换动机同伦理论中实现映射的强张量性，为这些公式为何成立提供概念性解释。

提出的方法

• 利用非交换动机的范畴，其中态射对应于微分graded范畴的$K_0$-群。
• 应用从$\text{dgcat}(k)$到$\text{D}$的对称张量加法不变量$L: \text{dgcat}(k) \to \text{D}$，且在光滑且拟紧微分graded范畴上为强张量同态。
• 对任意微分graded范畴$\mathcal{A}$，构造一个Chern特征映射$\mathit{ch}_L: K_0(\mathcal{A}) \to \mathrm{Hom}_{\mathsf{D}}(\mathbf{1}, L(\mathcal{A}))$。
• 当$\mathcal{A}$为拟紧时，引入一个典范配对$L(\mathcal{A}) \otimes L(\mathcal{A}^{\mathsf{op}}) \to \mathbf{1}$，从而在$\mathrm{Hom}_{\mathsf{D}}(\mathbf{1}, L(\mathcal{A}))$上诱导出一个配对。
• 通过比较动机迹与实现映射，推导出关键等式，其依据在于实现映射满足Künneth公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 Lunts的非交换Lefschetz公式如何从一个通用的动机构造中推导而出？
• RQ2 Shklyarov的非交换Hirzebruch-Riemann-Roch定理的范畴起源是什么？
• RQ3 Hochschild同调与Weil上同调理论在多大程度上可视为单一动机框架下的实现？
• RQ4 微分graded范畴上的对称张量加法不变量如何编码迹与配对公式？
• RQ5 Grothendieck-Riemann-Roch定理能否通过非交换动机在范畴上重新表述？

主要发现

• 对任意光滑且拟紧的微分graded范畴$\mathcal{A}$与完美$\mathcal{A}$-双模$M$，非交换Lefschetz公式(1.8)成立，且傅里叶-穆凯伊算子$\Phi_M$的迹等于$\mathrm{HH}_i(\mathcal{A};M)$的秩的交错和。
• 对光滑且拟紧的$k$-概形$X$与凝聚核$\mathcal{E}$，等式(1.10)成立：Betti上同调迹的交错和等于Hochschild同调维数的交错和。
• 通过范畴$\mathsf{D}$中的典范配对，确立了非交换Hirzebruch-Riemann-Roch公式(1.12)，其中$\mathrm{ch}_L(\mathbf{R}\mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(M,N)) = \langle \mathrm{ch}_L(N), \mathrm{ch}_L(DM) \rangle$。
• 当$L = \mathrm{HH}$时，Chern特征$\mathrm{ch}_L$与Dennis迹映射一致，从而作为特例恢复了Shklyarov的结果(1.6)。
• 证明依赖于非交换动机实现映射的强对称张量性，因此满足Künneth公式，从而允许迹与配对恒等式在范畴上被计算。
• 该框架通过展示它们是动机函子性与张量性的形式推论，统一了经典与非交换指标定理。