[论文解读] Left-Right Entanglement Entropy, D-Branes, and Level-rank duality

Howard J. Schnitzer|arXiv (Cornell University)|May 26, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 34被引用 11

一句话总结

本文研究了在圆和D-brane上的1+1维WZW模型中的左右纠缠熵（LREE），证明了层级-秩对偶性将大中心荷与小中心荷理论之间的LREE相互映射。本文建立了${\widehat{\rm su}(N)_K}$与${\widehat{\rm su}(K)_N}$之间、以及${\widehat{\rm sp}(N)_K}$之间LREE的对偶性，表明在该对偶性下纠缠结构得以保持，并通过模S矩阵显式映射了Cardy态的熵。

ABSTRACT

We consider the left-right entanglement (LREE) entropy in 1+1 dimensions for WZW models on a circle, and for WZW models on untwisted and twisted D-branes. The consequences of level-rank duality for these applications is presented which provides a map of LREE from large to small central charge.

研究动机与目标

• 研究1+1维WZW模型在圆和D-brane上的左右纠缠熵（LREE）的行为。
• 探讨层级-秩对偶性在WZW模型中对LREE的影响，特别是针对${\widehat{\rm su}(N)_K}$和${\widehat{\rm sp}(N)_K}$的情形。
• 通过层级-秩对偶性建立大中心荷与小中心荷理论之间LREE的映射关系。
• 从Chern-Simons理论在$S^3$上的威尔逊线角度，为LREE提供一种拓扑解释。
• 证明在扭曲D-brane上的开弦划分函数系数在层级-秩对偶性下保持不变。

提出的方法

• 使用Cardy态作为WZW模型中的边界态，通过模S矩阵表示为Ishibashi态的叠加。
• 通过追踪右移自由度获得约化密度矩阵，应用左右纠缠熵的形式化方法。
• 利用${\widehat{\rm su}(N)_K}$和${\widehat{\rm sp}(N)_K}$的模S矩阵变换规则，关联对偶理论之间的熵。
• 使用公式$S_{|\lambda\rangle\rangle_C} = \frac{\pi cl}{24\epsilon} - \sum_{\mu} S^{2}_{\lambda\mu} \ln\left(\frac{S^{2}_{\lambda\mu}}{S_{0\mu}}\right)$推导圆上Cardy态的LREE。
• 使用S矩阵的层级-秩对偶变换：对于${\widehat{\rm su}}$，有$S_{\lambda\mu} = \sqrt{K/N} e^{-2\pi i r(\lambda)r(\mu)/NK} \tilde{S}^*_{\tilde{\lambda}\tilde{\mu}}$；对于${\widehat{\rm sp}}$，有$S'_{\alpha'\beta'} = \tilde{S}'_{\tilde{\alpha}'\tilde{\beta}'}$。
• 通过S矩阵恒等式和扭曲D-brane的表示理论，证明开弦谱系数$n^{\alpha}_{\beta\lambda}$的层级-秩对偶性：$n^{\alpha}_{\beta\lambda} = \tilde{n}^{\tilde{\alpha}}_{\tilde{\beta}\tilde{\lambda}}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 层级-秩对偶性如何在具有大中心荷与小中心荷的WZW模型之间映射左右纠缠熵（LREE）？
• RQ2 圆上Cardy态的LREE能否被解释为3D拓扑量子场论中的拓扑纠缠熵？
• RQ3 在层级-秩对偶性下，WZW模型中未扭曲和扭曲D-brane的LREE行为如何？
• RQ4 在扭曲D-brane上，开弦划分函数的系数$n^{\alpha}_{\beta\lambda}$在层级-秩对偶性下如何关联？
• RQ5 当在${\widehat{\rm su}(N)_K}$与${\widehat{\rm su}(K)_N}$之间映射时，该对偶性是否保持纠缠熵的结构？类似地，对于${\widehat{\rm sp}(N)_K}$是否也成立？

主要发现

• 在1+1维中，圆上Cardy态的LREE由公式$S_{|\lambda\rangle\rangle_C} = \frac{\pi cl}{24\epsilon} - \sum_{\mu} S^{2}_{\lambda\mu} \ln\left(\frac{S^{2}_{\lambda\mu}}{S_{0\mu}}\right)$给出，其中$c$为中心荷。
• 在层级-秩对偶性下，${\widehat{\rm su}(N)_K}$的LREE映射到${\widehat{\rm su}(K)_N}$的LREE，大$K$极限下中心荷$c \sim N^2$，对偶理论中$c \sim KN$。
• 对于${\widehat{\rm sp}(N)_K}$，对偶性将其映射到${\widehat{\rm sp}(K)_N}$，大$K$极限下中心荷$c \sim N(N+1)$，对偶理论中$c \sim KN$。
• 在$\omega_c$-扭曲D-brane上的开弦谱系数$n^{\alpha}_{\beta\lambda}$在层级-秩对偶性下保持不变：$n^{\alpha}_{\beta\lambda} = \tilde{n}^{\tilde{\alpha}}_{\tilde{\beta}\tilde{\lambda}}$。
• 该对偶性将未扭曲和扭曲D-brane上WZW模型的纠缠结构在大中心荷与小中心荷区域之间映射，同时保持熵的结构。
• 该形式化方法暗示LREE可能在$S^3$上的Chern-Simons理论中通过威尔逊线可观测量获得拓扑解释，从而将2+1D TQFT与1+1D CFT纠缠联系起来。