[论文解读] Level sets and non Gaussian integrals of positively homogeneous functions

Jean B. Lasserre|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2011

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文建立了正齐次函数次水平集体积的凸性性质，并通过作用独立性揭示了非高斯积分与水平集体积之间令人惊讶的联系。研究发现，将齐次函数 $ h $ 在 $ \{\mathbf{x} : g(\mathbf{x}) \leq y\} $ 上积分，与 $ h\exp(-g) $ 在 $ \mathbb{R}^n $ 上的积分成正比，比例常数仅依赖于齐次度数和函数 $ \phi $。关键结果是多项式系数的体积凸性，从而为最小体积包含问题提供了新型凸优化方法。

ABSTRACT

We investigate various properties of the sublevel set $\{x \,:\,g(x)\leq 1\}$ and the integration of $h$ on this sublevel set when $g$ and $h$are positively homogeneous functions. For instance, the latter integral reduces to integrating $h\exp(-g)$ on the whole space $R^n$ (a non Gaussian integral) and when $g$ is a polynomial, then the volume of the sublevel set is a convex function of the coefficients of $g$. In fact, whenever $h$ is nonnegative, the functional $\int ϕ(g(x))h(x)dx$ is a convex function of $g$ for a large class of functions $ϕ:R_+ o R$. We also provide a numerical approximation scheme to compute the volume or integrate $h$ (or, equivalently to approximate the associated non Gaussian integral). We also show that finding the sublevel set $\{x \,:\,g(x)\leq 1\}$ of minimum volume that contains some given subset $K$ is a (hard) convex optimization problem for which we also propose two convergent numerical schemes. Finally, we provide a Gaussian-like property of non Gaussian integrals for homogeneous polynomials that are sums of squares and critical points of a specific function.

研究动机与目标

• 研究当 $ g $ 和 $ h $ 为正齐次函数时，次水平集 $ \{\mathbf{x} : g(\mathbf{x}) \leq 1\} $ 的性质以及 $ h $ 在这些集合上的积分。
• 建立 $ h $ 在次水平集上的积分与非高斯积分 $ \int_{\mathbb{R}^n} h\exp(-g)\,d\mathbf{x} $ 之间的函数关系，证明在一大类函数 $ \phi $ 下具有作用独立性。
• 证明当 $ g $ 为非负齐次多项式时，次水平集 $ \{\mathbf{x} : g(\mathbf{x}) \leq 1\} $ 的体积是 $ g $ 的系数的凸函数。
• 提出用于计算体积或在次水平集上积分 $ h $ 的数值逼近方法，并通过凸优化求解最小体积次水平集包含问题。
• 证明对于齐次多项式平方和，非高斯积分表现出类似高斯的行为，并确定特定泛函的临界点。

提出的方法

• 推导一般的作用独立性恒等式：$ \int_{\mathbb{R}^n} \phi(g(\mathbf{x}))h(\mathbf{x})\,d\mathbf{x} = C(\phi,d,p) \cdot \int_{\mathbb{R}^n} h(\mathbf{x})\exp(-g(\mathbf{x}))\,d\mathbf{x} $，其中 $ C(\phi,d,p) $ 仅依赖于 $ \phi $、次数 $ d $ 和 $ h $ 的齐次度 $ p $。
• 利用欧拉恒等式和缩放论证，证明积分 $ \int_{\{g(\mathbf{x}) \leq y\}} h(\mathbf{x})\,d\mathbf{x} $ 按 $ y^{(n+p)/d} $ 缩放，从而导出涉及伽马函数的显式公式。
• 应用法图引理和Borel测度空间中的弱*紧性，证明多项式序列的收敛性，并在凸优化问题中建立最优性。
• 提出两种基于半定规划和矩松弛技术的收敛数值方案，用于求解最小体积次水平集包含问题。
• 将 $ C_d(\mathbf{K}) $（在紧集 $ \mathbf{K} $ 上非负齐次多项式集合）的对偶锥表征为 $ \mathbf{K} $ 上有限Borel测度的矩序列集合。
• 利用对偶锥的结构，证明体积最小化问题的最优解在可行多项式序列的极限中达到。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将正齐次函数 $ h $ 在次水平集 $ \{\mathbf{x} : g(\mathbf{x}) \leq y\} $ 上的积分，用非高斯积分 $ \int_{\mathbb{R}^n} h(\mathbf{x})\exp(-g(\mathbf{x}))\,d\mathbf{x} $ 表示？
• RQ2 当 $ g $ 为非负齐次多项式时，次水平集 $ \{\mathbf{x} : g(\mathbf{x}) \leq 1\} $ 的体积是否为 $ g $ 的系数的凸函数？
• RQ3 能否将寻找包含给定紧集 $ \mathbf{K} $ 的最小体积次水平集的问题表述为凸优化问题？
• RQ4 对于平方和形式的齐次多项式，其非高斯积分是否表现出类似高斯的行为？
• RQ5 在紧集 $ \mathbf{K} $ 上，非负齐次多项式集合 $ C_d(\mathbf{K}) $ 的对偶锥是什么？它与测度矩序列有何关系？

主要发现

• 积分 $ \int_{\{g(\mathbf{x}) \leq y\}} h(\mathbf{x})\,d\mathbf{x} $ 与 $ \int_{\mathbb{R}^n} h(\mathbf{x})\exp(-g(\mathbf{x}))\,d\mathbf{x} $ 成正比，比例常数仅依赖于 $ g $ 和 $ h $ 的齐次度数以及函数 $ \phi $。
• 对于次数为 $ d $ 的非负齐次多项式 $ g $，集合 $ \{\mathbf{x} : g(\mathbf{x}) \leq 1\} $ 的体积是 $ g $ 的系数的凸函数。
• 对于 $ \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R} $ 的一大类函数 $ \phi $，泛函 $ \int \phi(g(\mathbf{x}))h(\mathbf{x})\,d\mathbf{x} $ 在 $ g $ 上是凸的，当 $ h $ 非负且 $ g $ 为非负齐次多项式时。
• 包含给定紧集 $ \mathbf{K} $ 的最小体积次水平集问题是凸优化问题，文中提出了两种收敛的数值方案来求解。
• $ C_d(\mathbf{K}) $（在紧集 $ \mathbf{K} $ 上非负齐次多项式集合）的对偶锥是 $ \mathbf{K} $ 上有限Borel测度的矩序列集合。
• 对于平方和形式的齐次多项式，非高斯积分 $ \int_{\mathbb{R}^n} \exp(-g(\mathbf{x}))\,d\mathbf{x} $ 表现出类似高斯的行为，并确定了特定泛函的临界点。