[论文解读] Lichnerowicz cocycles and central Lie group extensions

Cornelia Vizman|arXiv (Cornell University)|Jul 31, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 13被引用 6

一句话总结

本文通过在非线性格拉斯曼流形上的预量化解析和哈密顿作用，利用李赫诺维奇上循环，构造了体积形式微分同胚群覆盖群的中心扩张。它确定了李赫诺维奇上循环可积的最小覆盖群 $\overline{\rm Diff}(M,\mu)$，并将相应的辛流形实现为在中心扩张中的预量化解析余伴面，通过动量映射和预量化解析丛的拉回，实现了该扩张的几何实现。

ABSTRACT

We present a geometric construction of central extensions of covering groups of the group of volume preserving diffeomorphisms, integrating central extensions of the Lie algebra of divergence free vector fields defined by Lichnerowicz cocycles. Certain covering spaces of non-linear Grassmannians can be realized as prequantizable coadjoint orbits in these Lie group extensions.

研究动机与目标

• 通过预量化解析和哈密顿作用，几何化实现体积形式微分同胚群覆盖群的中心李群扩张。
• 确定李赫诺维奇上循环可积的最小覆盖群 $\overline{\text{Diff}}(M,\mu)$。
• 证明某些非线性格拉斯曼流形的覆盖空间可作为这些中心扩张中的预量化解析余伴面出现。
• 建立通量同态与李代数2-上循环可积性之间的对应关系。

提出的方法

• 通过在辛流形上的哈密顿作用，拉回预量化解析中心扩张，构造中心李群扩张。
• 利用动量映射，将辛流形 $\bar{\mathcal{M}}$ 实现为该中心扩张的余伴面。
• 将最小覆盖群 $\overline{\text{Diff}}(M,\mu)$ 定义为商群 $\widetilde{\text{Diff}}(M,\mu)_0 / \Pi_{\mathcal{M}}$，其中 $\Pi_{\mathcal{M}}$ 是投影 $\pi_1(\mathcal{M}) \to H_{m-1}(M,\mathbb{R})$ 的核。
• 利用通量同态，确定在无散向量场李代数上李赫诺维奇上循环 $\omega_{N_0}$ 的可积性。
• 证明 $\bar{\mathcal{M}}$ 上的辛形式 $q^*\tilde{\mu}$ 关于 $\overline{\text{Diff}}(M,\mu)_0$ 的作用是不变的，且该作用是哈密顿的，其动量映射为 $\bar{J}([N_t])(X) = \int_{[N_t]} i_X \mu$。
• 证明在 $\bar{\mathcal{M}}$ 上拉回预量化解析扩张，可得到积分 $\omega_{N_0}$ 的中心扩张。

实验结果

研究问题

• RQ1 体积形式微分同胚群 $\text{Diff}(M,\mu)_0$ 的最小覆盖群是什么，使得李赫诺维奇上循环 $\omega_{N_0}$ 可积？
• RQ2 如何通过预量化解析几何实现 $\widetilde{\text{Diff}}(M,\mu)_0$ 的中心扩张？
• RQ3 覆盖空间 $\bar{\mathcal{M}} = \widetilde{\mathcal{M}} / \Pi_{\mathcal{M}}$ 是否可作为中心李群扩张中的预量化解析余伴面实现？
• RQ4 通量同态在阻碍或促进李赫诺维奇上循环可积性方面起什么作用？
• RQ5 在 $\bar{\mathcal{M}}$ 上的动量映射 $\bar{J}$ 如何与中心扩张的余伴面结构相关联？

主要发现

• 最小覆盖群 $\overline{\text{Diff}}(M,\mu)$ 构造为 $\widetilde{\text{Diff}}(M,\mu)_0 / \Pi_{\mathcal{M}}$，其中 $\Pi_{\mathcal{M}}$ 是映射 $\pi_1(\mathcal{M}) \to H_{m-1}(M,\mathbb{R})$ 的核，从而确保李赫诺维奇上循环 $\omega_{N_0}$ 的可积性。
• 辛流形 $\bar{\mathcal{M}} = \widetilde{\mathcal{M}} / \Pi_{\mathcal{M}}$ 是 $\overline{\text{Diff}}(M,\mu)_0$ 和 $\widetilde{\text{Diff}}(M,\mu)_0$ 的中心扩张的预量化解析余伴面。
• 积分 $\omega_{N_0}$ 的 $\overline{\text{Diff}}(M,\mu}_0$ 的中心扩张，是通过哈密顿作用拉回 $\bar{\mathcal{M}}$ 上的预量化解析中心扩张得到的。
• 动量映射 $\bar{J}([N_t])(X) = \int_{[N_t]} i_X \mu$ 在 $\bar{\mathcal{M}}$ 上是良定义且单射的，确认了余伴面结构。
• $\widetilde{\text{Diff}}(M,\mu)_0$ 和 $\overline{\text{Diff}}(M,\mu)_0$ 在 $\bar{\mathcal{M}}$ 上的作用关于 $q^*\tilde{\mu}$ 是哈密顿的，且基本向量场满足 $Tq.\bar{\zeta}_X = \zeta_X$。
• 预量化解析扩张的拉回给出了积分 $\omega_{N_0}$ 的中心李群扩张，且 $\bar{\mathcal{M}}$ 上的辛形式满足 $-q^*\tilde{\mu}(\bar{\zeta}_X, \bar{\zeta}_Y) = \omega_{N_0}(X,Y)$。