[论文解读] Lichnerowicz-Jacobi cohomology and homology of Jacobi manifolds: modular class and duality

Manuel de León, B. López+2 more|ArXiv.org|Oct 15, 1999

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 36被引用 14

一句话总结

本文通过李代数胚结构和哈密顿向量场，为雅可比流形的Lichnerowicz-Jacobi上同调与同调建立了一个统一的框架。证明了在雅可比结构的共形变换下其不变性，并在模类为零时建立了上同调与同调之间的对偶性，同时对辛流形、接触流形以及李-泊松流形进行了显式计算，包括紧李代数对偶的单位球面。

ABSTRACT

Lichnerowicz-Jacobi cohomology and homology of Jacobi manifolds are reviewed. We present both in a unified approach using the representation of the Lie algebra of functions on itself by means of the hamiltonian vector fields. The use of the associated Lie algebroid allows to prove that the Lichnerowicz-Jacobi cohomology and homology are invariant under conformal changes of the Jacobi structure and to stablish the duality between Lichnerowicz-Jacobi cohomology and homology when the modular class vanishes. We also compute the Lichnerowicz-Jacobi cohomology and homology for a large variety of examples.

研究动机与目标

• 通过李代数胚和哈密顿向量场表示，为雅可比流形发展统一的上同调与同调理论。
• 分析Lichnerowicz-Jacobi上同调与同调在雅可比结构共形变换下的行为。
• 在模类为零时，建立Lichnerowicz-Jacobi上同调与同调之间的对偶性。
• 对关键例子（辛流形、接触流形、局部共形辛流形以及实李代数的单位球面）显式计算这些上同调与同调群。
• 阐明模类在决定对偶性与不变性性质中的作用。

提出的方法

• 通过哈密顿向量场表示雅可比流形上光滑函数的李代数，以定义Lichnerowicz-Jacobi上同调与同调。
• 利用相关的李代数胚结构，证明在雅可比结构的共形变换下上同调与同调的不变性。
• 应用Chevalley-Eilenberg复形，将雅可比流形的上同调与同调理论作为完整复形的子复形推导出来。
• 利用模类确定上同调与同调之间对偶性成立的条件，特别是当其为零时。
• 对特定类别的流形进行上同调与同调的计算：辛流形、接触流形、李-泊松结构，以及紧李代数对偶的单位球面。
• 通过李代数的上同调与流形上不变函数代数，建立同调与上同调群之间的同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 Lichnerowicz-Jacobi上同调在雅可比结构的共形变换下如何表现？
• RQ2 在何种条件下，Lichnerowicz-Jacobi上同调与同调之间存在对偶性？
• RQ3 辛流形与接触流形的Lichnerowicz-Jacobi上同调与同调的显式结构是什么？
• RQ4 模类如何影响雅可比流形中上同调与同调之间的对偶性？
• RQ5 紧李代数对偶的单位球面的Lichnerowicz-Jacobi同调是什么？它与李代数上同调有何关系？

主要发现

• 通过李代数胚框架，证明了Lichnerowicz-Jacobi上同调与同调在雅可比结构的共形变换下保持不变。
• 当且仅当模类为零时，Lichnerowicz-Jacobi上同调与同调之间存在对偶性。
• 对于紧李代数 $ {{g}} $ 的单位球面 $ S^{n-1}({{g}}) $，其同调满足 $ H_{k}^{LJ}(S^{n-1}({{g}})) \to H^{n-k}({{g}}) \times \text{Inv} $，其中 $ \text{Inv} $ 为不变函数代数。
• 在辛流形 $ (M^{2m}, \bar{\nu}) $ 的情况下，同调同构于 $ \frac{H_{dR}^{2m+1-k}(M)}{\text{Im}\bar{L}^{2m-k-1}} \times \text{Ker}\bar{L}^{2m-k} $，其中 $ \bar{L} $ 作用为 $ [\beta] \to [\beta \times \bar{\nu}] $。
• 对于接触流形 $ M^{2m+1} $，Lichnerowicz-Jacobi同调在所有次数上均消失，反映了该结构的非单模性质。
• 对于具有平行Lee 1-形式的局部共形辛流形，Lichnerowicz-Jacobi同调是平凡的，与非零模类一致。