[论文解读] Lie 2-Algebras

Alissa S. Crans|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 22被引用 23

一句话总结

本文引入了作为2-向量空间上分类化李代数的半严格李2-代数，其中雅可比恒等式在完全反对称的三线性自然变换（称为雅可比子）作用下成立。它建立了一个新颖的联系，将李2-代数、奎德尔（quandles）以及高维辫子理论联系起来，并证明了每个半严格李2-代数都能给出赞莫洛奇科夫四面体方程的解，即杨-巴克斯方程的高维类比。

ABSTRACT

We categorify the theory of Lie algebras beginning with a new notion of categorified vector space, or `2-vector space', which we define as an internal category in Vect, the category of vector spaces. We then define a `semistrict Lie 2-algebra' to be a 2-vector space equipped with a skew-symmetric bilinear functor satisfying the Jacobi identity up to a completely antisymmetric trilinear natural transformation called the `Jacobiator', which in turn must satisfy a certain law of its own. Much of the content of this first chapter has already appeared in a separate paper coauthored with John Baez, Higher Dimensional Algebra VI: Lie 2-algebras. We then explore the relationship between Lie algebras and algebraic structures called `quandles'. A quandle is a set equipped with two binary operations satisfying axioms that capture the essential properties of the operations of conjugation in a group and algebraically encode the three Reidemeister moves. Indeed, we describe the relation to groups and show that quandles give invariants of braids. We further show that both Lie algebras and quandles give solutions of the Yang--Baxter equation, and explain how conjugation plays a prominent role in the both the theories of Lie algebras and quandles. Inspired by these commonalities, we provide a novel, conceptual passage from Lie groups to Lie algebras using the language of quandles. Moreover, we propose relationships between higher Lie theory and higher-dimensional braid theory. We conclude with evidence of this connection by proving that any semistrict Lie 2-algebra gives a solution of the Zamolodchikov tetrahedron equation, which is the higher-dimensional analog of the Yang--Baxter equation.

研究动机与目标

• 通过在Vect中作为内部范畴的新定义，发展使用2-向量空间的李代数的分类化理论。
• 定义半严格李2-代数，其具有满足相干性公理的完全反对称雅可比子，从而推广雅可比恒等式。
• 通过共轭和杨-巴克斯方程，探索李代数与奎德尔之间深刻的结构相似性。
• 通过奎德尔结构，建立从李群到李代数的理论过渡。
• 提出并提供证据，表明高阶李理论与高维辫子理论之间存在联系。

提出的方法

• 将2-向量空间定义为向量空间范畴中的内部范畴，从而实现向量空间的分类化。
• 引入半严格李2-代数作为配备有满足雅可比恒等式至三线性自然变换（称为雅可比子）的斜对称双线性函子的2-向量空间。
• 要求雅可比子满足相干性公理，以确保分类化雅可比恒等式的自洽性。
• 使用奎德尔——一种编码群共轭和雷德迈斯特移动的代数结构——以建立与李代数及辫子不变量的类比。
• 证明李代数与奎德尔均能产生杨-巴克斯方程的解，凸显共轭在两者结构中的核心作用。
• 从任意半严格李2-代数构造赞莫洛奇科夫四面体方程的解，确认其在高维辫子理论中的作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何使用明确定义的2-向量空间概念对李代数进行分类化？
• RQ2 在半严格李2-代数中，雅可比子的作用是什么？它必须满足何种相干性条件？
• RQ3 奎德尔与李代数在何种方式下均能产生杨-巴克斯方程的解？
• RQ4 共轭如何在辫子不变量的背景下统一李代数与奎德尔的结构？
• RQ5 半严格李2-代数能否提供赞莫洛奇科夫四面体方程的解，即杨-巴克斯方程的高维类比？

主要发现

• 将2-向量空间定义为Vect中的内部范畴，使得李代数的系统性分类化成为可能。
• 半严格李2-代数被定义为具有斜对称双线性函子和完全反对称雅可比子的结构，且雅可比子满足相干性公理。
• 奎德尔被证明能代数地编码雷德迈斯特移动，并产生辫子的不变量，其角色与李代数在辫子理论中的作用相呼应。
• 李代数与奎德尔均能产生杨-巴克斯方程的解，其中共轭在两种结构中均起核心作用。
• 本文从任意半严格李2-代数构造了赞莫洛奇科夫四面体方程的解，为高阶李理论与高维辫子理论之间的联系提供了具体证据。