[论文解读] Lie algebra of an n-Lie algebra

Basile Guy Richard Bossoto, Eugène Okassa+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2013

Advanced Topics in Algebra参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文通过在底层向量空间的 $(n-1)$-重外幂上使用伴随表示，从一个 $n$-李代数构造出一个李代数，利用导子构造出一个典范的李代数结构。它基于该李代数作用定义了 $n$-李代数的上同调，证明了第 0 个上同调群对应于 $n$-李代数的不变量，从而将经典李代数上同调推广到 $n$-元情形。

ABSTRACT

We construct the Lie algebra of an n-Lie algebra and we also define the notion of cohomology of an n-Lie algebra.

研究动机与目标

• 通过底层向量空间的 $(n-1)$-重外幂上的伴随表示，从一个 $n$-李代数构造出一个李代数结构。
• 基于导出李代数的导子，定义 $n$-李代数的上同调理论。
• 建立 $n$-李代数不变量与第 0 个上同调群之间的联系。
• 通过所构造的李代数，将经典李代数概念——理想、可解性、幂零性、卡坦子代数——推广到 $n$-李代数情形。

提出的方法

• 通过定义伴随映射 $ad_{\mathcal{G}}: \Lambda_K^{n-1}(\mathcal{G}) \to \text{Der}_K(\mathcal{G})$，其中 $ad_{\mathcal{G}}(x_1 \wedge \cdots \wedge x_{n-1})(y) = \{x_1, \dots, x_{n-1}, y\}$，来定义该映射。
• 证明 $ad_{\mathcal{G}}$ 是从 $\Lambda_K^{n-1}(\mathcal{G})$ 到 $\text{Der}_K(\mathcal{G})$ 的李代数同态，并通过商空间 $\Lambda_K^{n-1}(\mathcal{G}) / \mathcal{V}_K(\mathcal{G})$ 因子化。
• 利用诱导表示 $\widetilde{ad_{\mathcal{G}}}: \Lambda_K^{n-1}(\mathcal{G}) / \mathcal{V}_K(\mathcal{G}) \to \text{Der}_K(\mathcal{G})$，在系数为 $\mathcal{G}$ 的情形下定义上同调。
• 定义上同调复形 $\left(\mathcal{L}_{sks}(\Lambda_K^{n-1}(\mathcal{G}) / \mathcal{V}_K(\mathcal{G}), \mathcal{G}), d_n\right)$，其中微分 $d_n$ 由表示诱导而来。
• 证明微分 $d_n$ 满足 $d_n^2 = 0$，从而确保上同调理论的合理性。
• 建立 $H_n^0(\mathcal{G}) = \text{Inv}(\mathcal{G})$，即 $n$-李代数不变量的空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $n \geq 2$，如何自然地从一个 $n$-李代数构造出一个李代数？
• RQ2 $n$-李代数的上同调理论是什么？它与导出李代数的导子之间有何关系？
• RQ3 通过该构造，经典李代数概念（如理想、可解性、卡坦子代数）如何推广到 $n$-李代数情形？
• RQ4 不变子空间 $\text{Inv}(\mathcal{G})$ 在 $n$-李代数上同调中起什么作用？
• RQ5 在导出表示下，$n$-李代数的上同调是否同构于其关联李代数的上同调？

主要发现

• 映射 $ad_{\mathcal{G}}: \Lambda_K^{n-1}(\mathcal{G}) \to \text{Der}_K(\mathcal{G})$ 是一个李代数同态，使得从 $n$-李代数构造李代数成为可能。
• 商空间 $\Lambda_K^{n-1}(\mathcal{G}) / \mathcal{V}_K(\mathcal{G})$ 拥有自然的李代数结构，且 $\widetilde{ad_{\mathcal{G}}}$ 的像构成 $\text{Der}_K(\mathcal{G})$ 的一个李子代数。
• $n$-李代数不变量的空间 $\text{Inv}(\mathcal{G})$ 同构于第 0 个上同调群 $H_n^0(\mathcal{G})$。
• 上同调复形 $\left(\mathcal{L}_{sks}(\Lambda_K^{n-1}(\mathcal{G}) / \mathcal{V}_K(\mathcal{G}), \mathcal{G}), d_n\right)$ 是良定义的，且满足 $d_n^2 = 0$，从而确认了有效的上同调理论。
• 在表示 $\widetilde{ad_{\mathcal{G}}}$ 下稳定的子空间对应于 $n$-李代数中的理想，从而将表示理论与理想结构联系起来。
• $\Lambda_K^{n-1}(\mathcal{G}) / \mathcal{V}_K(\mathcal{G})$ 的李代数的中心包含 $\Lambda_K^{n-1}(\text{Inv}(\mathcal{G}))$ 的像，表明不变量在导出李代数上作用平凡。