[论文解读] Lie Algebroids over Differentiable Stacks

James Waldron|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用 8

一句话总结

本文發展了不同可微堆疊上李代數叢的完整理論，透過建立對於浸沒映射的下降性質、定義李代數叢的堆疊、構造上同調理論，並連結至 $σ$-群叢，將古典的流形上李代數叢理論推廣至奇異與商幾何。主要貢獻在於提出完全類別化與堆疊理論的公式，將李代數叢推廣至奇異與商幾何，並應用於切叢堆疊、泊松結構與 étale 堆疊上的表示。

ABSTRACT

We develop a theory of Lie algebroids over differentiable stacks that extends the standard theory of Lie algebroids over manifolds. In particular we show that Lie algebroids satisfy descent for submersions, define the category of Lie algebroids over a differentiable stack, construct a cohomology theory for these objects, and explain the relation to the theory of $\mathcal{LA}$-groupoids. We construct a number of examples.

研究动机与目标

• 將古典的光滑流形上李代數叢理論推廣至不同可微堆疊的設定。
• 建立沿浸沒映射的李代數叢下降理論，使得以透過局部資料在堆疊上定義李代數叢。
• 使用 2-類別與層論方法，定義李代數叢的堆疊理論框架，包含表示與上同調。
• 透過總堆疊構造，釐清堆疊上李代數叢與 $σ$-群叢之間的關係。
• 提供具體範例，包括切叢堆疊、 étale 堆疊上的泊松結構，以及平凡的轉移李代數叢。

提出的方法

• 使用 2-Yoneda 引理與格羅滕迪克構造，將堆疊視為在流形與浸沒映射或 étale 映射的範疇上取值的弱預層（weak presheaf）的群叢。
• 透過沿圖式（atlas）的拉回定義堆疊 $χ$ 上的李代數叢，確保在基變換與下降下的一致性。
• 利用堆疊的 étale 或浸沒範疇上的層上同調，構造堆疊上李代數叢的 de Rham 多重複形與上同調。
• 應用拉回與基變換形式化，將表示與係數上同調推廣至堆疊設定。
• 透過總堆疊構造，建立堆疊上李代數叢與 $σ$-群叢之間的對應關係，推廣古典的李群叢–李代數叢對偶性。
• 使用李群叢的分類堆疊定義堆疊上的李代數叢，特別是在作用與穩定子代數的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 給定堆疊並非流形，如何一致地定義其上的李代數叢？
• RQ2 古典的李代數叢理論是否對浸沒映射滿足下降性質？若成立，如何以類別論方式形式化？
• RQ3 能否構造一個推廣流形上李代數叢 de Rham 上同調的堆疊上李代數叢上同調理論？
• RQ4 堆疊上李代數叢與 $σ$-群叢之間的關係為何？此關係如何推廣古典對偶性？
• RQ5 標準幾何結構（如泊松或辛結構）如何透過李代數叢推廣至 étale 堆疊的設定？

主要发现

• 不同可微堆疊上的李代數叢對浸沒映射滿足下降性質，表示其可透過圖式上的一致局部資料定義。
• 堆疊上李代數叢的範疇本身形成一個堆疊，其表示亦形成堆疊，進而允許建立全域上同調框架。
• 堆疊上李代數叢的 de Rham 多重複形透過堆疊的 étale 或浸沒範疇上的層上同調構造，推廣古典 de Rham 多重複形。
• 切叢堆疊 $T\mathfrak{X}$ 同構於李代數叢 $\mathbf{T}\mathfrak{X}$，確立任一不同可微堆疊的切叢堆疊上自然的李代數叢結構。
• étale 堆疊上的泊松結構由余切叢上的李代數叢結構特徵化，其相關的 $\mathcal{LA}$-群叢由總堆疊構造產生。
• 堆疊 $\mathfrak{X}$ 上的平凡轉移李代數叢同構於 $\underline{\mathfrak{g}} \oplus \mathbf{T}\mathfrak{X}$，其中 $\mathfrak{g}$ 為李代數，$\underline{\mathfrak{g}}$ 為常值李代數叢。