[论文解读] Limit free computation of entropy

Dikran Dikranjan, Anna Giordano Bruno|arXiv (Cornell University)|May 22, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 14被引用 12

一句话总结

本文提出了在局部有限群的自同态和完全不连通紧致群的连续自同态背景下计算代数熵与拓扑熵的无极限公式。其核心贡献是一项新颖的代数熵公式，通过将熵表示为群阶的对数比值，避免了极限运算，直接揭示了阿贝尔情形下代数熵与拓扑熵之间的对偶性，并建立了拓扑熵与自同构的有限深度之间的精确联系。

ABSTRACT

Various limit-free formulas are given for the computation of the algebraic and the topological entropy, respectively in the settings of endomorphisms of locally finite discrete groups and of continuous endomorphisms of totally disconnected compact groups. As applications we give new proofs of the connection between the algebraic and the topological entropy in the abelian case and of the connection of the topological entropy with the finite depth for topological automorphisms.

研究动机与目标

• 在非阿贝尔与非紧致背景下，发展用于计算代数熵与拓扑熵的无极限公式。
• 提供一种直接的、不依赖极限的熵表达式，避免对渐近极限的取用。
• 通过庞特里亚金对偶性，建立代数熵与拓扑熵之间的精确联系。
• 阐明拓扑自同构中有限深度概念与拓扑熵之间的关系。
• 为挠阿贝尔群的单射自同态提供一种新的、无重数的尤兹文斯基公式的证明。

提出的方法

• 引入局部有限群 G 中有限子群 F 在自同态 φ 作用下的第 n 个 φ-轨迹 T_n(φ,F)。
• 将 φ 关于 F 的代数熵定义为 (log |T_n(φ,F)|)/n 的极限，并证明该极限存在。
• 提出无极限公式：H_alg(φ,F) = log|T(φ,F)/φ(T(φ,F))| − log|ker φ ∩ T(φ,F)|，当 ker φ ∩ T(φ,F) 为有限时成立。
• 利用对偶性推导出相应的拓扑公式：H_top(ψ,U) = log|ψ⁻¹(C(ψ,U))/C(ψ,U)| − log|K/(Im ψ · C(ψ,U))|，适用于完全不连通紧致群上的连续自同态 ψ。
• 利用庞特里亚金对偶性连接代数与拓扑公式，证明当 ψ = φ̂ 时有 h_alg(φ) = h_top(ψ)。
• 将拓扑公式应用于证明：对于有限深度的自同构，有 h_top(ψ) = log(depth(ψ))。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否能仅通过有限群商群与核交集，无需取极限，来计算代数熵？
• RQ2 在阿贝尔情形下，代数熵与拓扑熵之间的确切关系是什么？能否在不依赖重数的情况下证明？
• RQ3 拓扑自同构中的有限深度概念如何与拓扑熵相关联？
• RQ4 能否通过无极限方法，将尤兹文斯基公式从单射情形推广到非单射情形？
• RQ5 是否存在一个直接的公式，用图像子群与共轨迹子群等群论不变量来表达拓扑熵？

主要发现

• 建立了无极限的代数熵公式：H_alg(φ,F) = log|T(φ,F)/φ(T(φ,F))| − log|ker φ ∩ T(φ,F)|，当 ker φ ∩ T(φ,F) 为有限时成立。
• 对于单射自同态，该公式简化为 H_alg(φ,F) = log|T(φ,F)/φ(T(φ,F))|，确认了尤兹文斯基在单射情形下的结论。
• 推导出相应的无极限拓扑熵公式：H_top(ψ,U) = log|ψ⁻¹(C(ψ,U))/C(ψ,U)| − log|K/(Im ψ · C(ψ,U))|，条件是 K/(Im ψ · C(ψ,U)) 为有限。
• 有限深度的拓扑自同构 ψ 的拓扑熵等于其深度的对数：h_top(ψ) = log(depth(ψ))。
• 通过庞特里亚金对偶性直接证明了代数熵与拓扑熵之间的对偶性，即当 ψ = φ̂ 时有 h_alg(φ) = h_top(ψ)。
• 该结果表明，对于具有平凡 ψ-共轨迹的无限紧致群，其拓扑熵为正，且满足 |ker ψ| > |coker ψ|。