[论文解读] Limit order books, diffusion approximations and reflected SPDEs: from microscopic to macroscopic models

Ben Hambly, Jasdeep Kalsi+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2018

Complex Systems and Time Series Analysis参考文献 27被引用 5

一句话总结

本文通过扩散近似，建立了从微观限价订单簿动态到宏观随机偏微分方程（SPDE）的严格数学桥梁，表明在缩放极限下，高频订单簿行为收敛于反射SPDE。其主要贡献在于提出了一种概率性的宏观市场模型，能够捕捉市场典型特征，并支持执行策略的仿真测试。

ABSTRACT

Motivated by a zero-intelligence approach, the aim of this paper is to connect the microscopic (discrete price and volume), mesoscopic (discrete price and continuous volume) and macroscopic (continuous price and volume) frameworks for the modelling of limit order books, with a view to providing a natural probabilistic description of their behaviour in a high to ultra high-frequency setting. Starting with a microscopic framework, we first examine the limiting behaviour of the order book process when order arrival and cancellation rates are sent to infinity and when volumes are considered to be of infinitesimal size. We then consider the transition between this mesoscopic model and a macroscopic model for the limit order book, obtained by letting the tick size tend to zero. The macroscopic limit can then be described using reflected SPDEs which typically arise in stochastic interface models. We then use financial data to discuss a possible calibration procedure for the model and illustrate numerically how it can reproduce observed behaviour of prices. This could then be used as a market simulator for short-term price prediction or for testing optimal execution strategies.

研究动机与目标

• 在零智能框架下统一限价订单簿的微观、介观和宏观模型。
• 推导订单簿过程在订单到达和撤单速率趋于无穷大时的连续时间极限。
• 证明宏观极限由反射SPDE描述，从而将市场微观结构与随机界面模型联系起来。
• 提出一种基于真实金融数据的校准程序，以实现实际市场仿真的应用。
• 通过经过验证的模型，实现短期价格预测与最优执行策略的回溯测试。

提出的方法

• 使用具有离散价格层级和无穷小订单量的微观模型，随后将到达率与撤单率缩放至无穷大。
• 应用泛函中心极限定理，推导出具有连续体积和离散价格的介观模型。
• 在最小价格变动单位趋于零时取进一步极限，得到连续价格与连续体积的框架。
• 推导出宏观极限为由空间-时间白噪声驱动的反射随机PDE系统。
• 采用Skorokhod表示法与弱收敛技术，证明重缩放过程的收敛性。
• 利用实证金融数据对模型进行校准，并通过与观测到的价格动态对比，实现数值验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 在高频缩放下，限价订单簿过程如何从离散价格与体积框架收敛至连续框架？
• RQ2 当最小价格变动单位与订单量缩放至零时，订单簿的极限SPDE描述是什么？
• RQ3 宏观SPDE模型能否再现价格形成与订单流的典型市场特征？
• RQ4 如何将该模型校准至真实市场数据，以实现实际市场仿真的应用？
• RQ5 限价订单簿动力学与随机界面理论中的反射SPDE之间存在何种联系？

主要发现

• 在高频订单到达与撤单缩放下，订单簿过程的介观极限收敛于一组耦合的随机微分方程。
• 宏观极限由反射SPDE描述，这类方程自然出现在随机界面模型中，能够捕捉订单簿的非负性与边界行为。
• 重缩放的微观过程以分布收敛于连续型右连左极路径空间中的宏观SPDE模型。
• 该模型可基于真实金融数据进行校准，从而在数值上再现观测到的价格动态与市场微观结构特征。
• 所得SPDE模型可作为有效的市场模拟器，用于短期价格预测与最优执行策略的测试。
• 收敛性结果通过Skorokhod表示法与在被限制过程函数空间上的连续性论证得以证明。