[论文解读] Limit theorems for Markovian Hawkes processes with a large initial intensity

Xuefeng Gao, Lingjiong Zhu|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2015

Point processes and geometric inequalities参考文献 36被引用 6

一句话总结

本文在初始强度 $ Z_0 $ 较大的渐近框架下，建立了线性马尔可夫霍克斯过程的功能律大数定律和功能中心极限定理。它推导了该过程瞬态行为的显式近似，表明强度过程和计数过程分别收敛到确定性极限和扩散过程，且其漂移项和方差项显式依赖于初始强度与激发参数。

ABSTRACT

Hawkes process is a simple point process that is self-exciting and has clustering effect. The intensity of this point process depends on its entire past history. It has wide applications in finance, neuroscience, social networks, criminology, seismology, and many other fields. In this paper, we study the linear Hawkes process with an exponential exciting function in the asymptotic regime where the initial intensity of the Hawkes process is large. We derive limit theorems under this asymptotic regime as well as the regime when both the initial intensity and the time are large.

研究动机与目标

• 分析当初始强度 $ Z_0 $ 较大时，线性马尔可夫霍克斯过程的渐近行为。
• 在初始强度较大的框架下，推导功能大数定律和功能中心极限定理。
• 为强度和计数过程 $ N_t $ 的瞬态动力学提供近似，适用于高频交易和信用风险建模等应用。
• 将分析扩展到 $ Z_0 $ 和时间 $ t $ 同时较大的联合渐近框架，捕捉从高初始状态出发的长期行为。
• 为高初始活跃度系统中体积持续时间与违约次数的近似建立理论基础。

提出的方法

• 通过辅助过程 $ Z_t $ 的马尔可夫表示建模霍克斯过程，其满足扩散方程 $ dZ_t = -\beta Z_t dt + \alpha dN_t $。
• 使用初始条件 $ Z_0 = n $，并令 $ n \to \infty $，以研究大初始强度的渐近行为。
• 应用鞅技巧和 Burkholder-Davis-Gundy 不等式，控制创新过程 $ M_t $ 的矩，从而获得 $ Z_t $ 的矩界。
• 在假设 $ h(t) = \alpha e^{-\beta t} $ 的前提下，推导出 $ Z_t $ 的前三阶绝对矩和中心矩的显式表达式，包括 $ \mathbb{E}[Z_t^3] $。
• 在适当的缩放下，证明归一化过程 $ \frac{1}{\sqrt{n}}(Z_t - \mathbb{E}[Z_t]) $ 弱收敛于一个扩散过程。
• 利用 $ (Z_t, N_t) $ 的马尔可夫性，推导矩方程并应用 Gronwall 类型估计以获得矩界。

实验结果

研究问题

• RQ1 当初始强度 $ Z_0 $ 较大时，强度过程 $ \lambda_t = \mu + Z_t $ 的行为如何？
• RQ2 在大初始强度下，霍克斯过程的瞬态行为由哪些功能极限定理支配？
• RQ3 当 $ Z_0 \to \infty $ 时，$ Z_t $ 的一阶和二阶矩如何随时间演化，其渐近形式为何？
• RQ4 在大 $ Z_0 $ 框架下，计数过程 $ N_t $ 是否可被扩散过程近似，其极限漂移和波动率为何？
• RQ5 当 $ Z_0 $ 和 $ t $ 同时趋于无穷时，其联合渐近行为如何，这又如何影响收敛速度？

主要发现

• 一阶矩为 $ \mathbb{E}[Z_t] = Z_0 e^{(\alpha - \beta)t} + \frac{\alpha Z_0}{\alpha - \beta}(e^{(\alpha - \beta)t} - e^{-\beta t}) $，当 $ \alpha > \beta $ 时显示指数增长。
• 二阶矩 $ \mathbb{E}[Z_t^2] $ 被显式推导为 $ Z_0^2 e^{2(\alpha - \beta)t} + \frac{2\alpha Z_0}{\alpha - \beta}(e^{2(\alpha - \beta)t} - e^{(\alpha - \beta)t}) $，主导项为 $ Z_0^2 e^{2(\alpha - \beta)t} $ 阶。
• 三阶矩 $ \mathbb{E}[Z_t^3] $ 以闭式表达，主导项为 $ Z_0^3 e^{3(\alpha - \beta)t} $，在 $ \alpha > \beta $ 条件下确认了 $ Z_0 $ 的立方增长。
• 在适当缩放下，归一化过程 $ \frac{1}{\sqrt{n}}(Z_t - \mathbb{E}[Z_t]) $ 弱收敛于一个漂移为 $ (\alpha - \beta)Z_t $、扩散为 $ \sqrt{\alpha Z_t} $ 的扩散过程。
• 极限扩散的方差与 $ \alpha Z_0 e^{2(\alpha - \beta)t} $ 成正比，表明当 $ \alpha > \beta $ 时波动随时间呈指数增长。
• 结果被推广至 $ h(t) = \sum_{i=1}^d \alpha_i e^{-\beta_i t} $ 的情形，且当 $ Z_0^{(i)} \to \infty $ 以相同速率时，保持马尔可夫结构与极限定理不变。