[论文解读] High dimensional Hawkes processes

Sylvain Delattre, Nicolas Fournier+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2014

Point processes and geometric inequalities参考文献 28被引用 6

一句话总结

本文将多变量霍克斯过程推广至有向图上的无限网络，证明了泊松驱动SDE系统路径意义上的存在性与唯一性。在平均场和晶格设定下，建立了大时间的弱大数定律与中心极限定理，并对Z^d上的脉冲传播与灭绝行为给出了显式分析。

ABSTRACT

We generalise the construction of multivariate Hawkes processes to a possibly infinite network of counting processes on a directed graph $\mathbb G$. The process is constructed as the solution to a system of Poisson driven stochastic differential equations, for which we prove pathwise existence and uniqueness under some reasonable conditions. We next investigate how to approximate a standard $N$-dimensional Hawkes process by a simple inhomogeneous Poisson process in the mean-field framework where each pair of individuals interact in the same way, in the limit $N ightarrow \infty$. In the so-called linear case for the interaction, we further investigate the large time behaviour of the process. We study in particular the stability of the central limit theorem when exchanging the limits $N, T ightarrow \infty$ and exhibit different possible behaviours. We finally consider the case $\mathbb G = \mathbb Z^d$ with nearest neighbour interactions. In the linear case, we prove some (large time) laws of large numbers and exhibit different behaviours, reminiscent of the infinite setting. Finally we study the propagation of a {\it single impulsion} started at a given point of $\zz^d$ at time $0$. We compute the probability of extinction of such an impulsion and, in some particular cases, we can accurately describe how it propagates to the whole space.

研究动机与目标

• 将多变量霍克斯过程推广至有向图上的无限网络，以支持大规模相互作用系统的建模。
• 在该类图上建立泊松驱动随机微分方程系统路径意义上的解的存在性与唯一性。
• 研究N维线性霍克斯过程在N → ∞时的平均场极限，推导大数定律与中心极限定理。
• 研究Z^d上具有最近邻相互作用的线性霍克斯过程中单个脉冲的传播与灭绝行为。
• 刻画在N → ∞与T → ∞极限相互作用下的不同大时间行为，尤其关注极限定理的稳定性。

提出的方法

• 将无限维霍克斯过程构造为由泊松随机测度驱动的随机微分方程组的解。
• 对相互作用核φ_ji与强度函数h_i施加条件，通过压缩映射法确保路径意义上的唯一性与存在性。
• 应用平均场近似技术研究N维线性霍克斯过程在N → ∞时的极限，推导出确定性极限。
• 利用卷积方程与矩阵算子（如Z^d上的A）建模空间相互作用，并推导强度过程的时间导数方程。
• 采用勒贝格控制收敛定理与格拉沃尔类型不等式，证明矩的收敛性与极限定理的稳定性。
• 通过计算灭绝概率并利用核φ与随机矩阵A刻画单个初始跳跃的传播，分析Z^d上的脉冲传播。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，无限有向图上的多变量霍克斯过程存在唯一的路径解？
• RQ2 当N → ∞时，N维线性霍克斯过程的平均场极限行为如何？其大数定律结果为何？
• RQ3 在平均场框架下，若交换N → ∞与T → ∞的极限顺序，中心极限定理会发生什么变化？
• RQ4 在具有最近邻相互作用的Z^d晶格上，线性霍克斯过程中的单个脉冲如何传播？
• RQ5 在Z^d中某一点发起的单个脉冲的灭绝概率是多少？其如何依赖于相互作用核？

主要发现

• 在相互作用核与强度函数满足温和可积性与正性条件时，泊松驱动SDE系统存在唯一的、右连左极的、非减的解。
• 在N → ∞的平均场极限下，N维线性霍克斯过程的经验测度收敛至由相互作用核卷积决定的确定性极限。
• 平均场框架下中心极限定理成立，但其稳定性依赖于极限顺序：交换N → ∞与T → ∞可能导致不同的极限行为。
• 在具有最近邻相互作用的Z^d上，强度过程满足一个涉及随机矩阵A的卷积方程，且强度的时间导数由A的幂次构成的诺伊曼级数给出。
• 在相互作用核满足特定条件时，Z^d上单个脉冲的灭绝概率严格小于1，表明存在全局传播的可能。
• 对于特定相互作用核，脉冲传播可显式描述，其强度传播呈现弹道或扩散行为，具体取决于核的衰减速率。