[论文解读] Limit theorems for sums of products of consecutive partial quotients of continued fractions

Hui Hu, Mumtaz Hussain+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2021

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 25被引用 4

一句话总结

本文建立了连分数展开中连续部分商乘积和 Sn(x) = Σᵢ₌₁ⁿ aᵢ(x)aᵢ₊₁(x) 的弱大数定律与强大数定律。证明了 Sn(x)/(n log²n) 在测度意义下及几乎处处收敛于 1/(2 log 2)，并确定了各类函数 φ 下水平集 E(φ) = {x : lim Sn(x)/φ(n) = 1} 的 Hausdorff 维数，结果为：当 φ(n) = eⁿᵞ 且 0 < γ < 1/2 时，维数为 1；当 φ(n) = e^{αn} 时，维数为 1/(1+α)；当 φ(n) = eⁿᵞ 且 γ ≥ 1/2 时，维数为 1/2。

ABSTRACT

Let $[a_1(x),a_2(x),\ldots, a_n(x), \ldots]$ be the continued fraction expansion of an irrational number $x\in (0, 1)$. The study of the growth rate of the product of consecutive partial quotients $a_n(x)a_{n+1}(x)$ is associated with the improvements to Dirichlet's theorem (1842). We establish both the weak and strong laws of large numbers for the partial sums $S_n(x)= \sum_{i=1}^n a_i(x)a_{i+1}(x)$ as well as, from a multifractal analysis point of view, investigate its increasing rate. Specifically, we prove the following results: \medskip \begin{itemize} \item For any $\epsilon>0$, the Lebesgue measure of the set $$\left\{x\in(0, 1): \left|\frac{ S_n(x)}{n\log^2 n}-\frac1{2\log2} ight|\geq \epsilon ight\}$$tends to zero as $n$ to infinity. \item For Lebesgue almost all $x\in (0,1)$, $$\lim\limits_{n ightarrow \infty} \frac{S_n(x)-\max\limits_{1\leq i \leq n}a_i(x)a_{i+1}(x)}{n\log^2n}=\frac{1}{2\log2}.$$ \item The Hausdorff dimension of the set $$E(\phi):=\left\{x\in(0,1):\lim\limits_{n ightarrow \infty}\frac{S_n(x)}{\phi(n)}=1 ight\}$$ is determined for a range of increasing functions $\phi: \mathbb N o \mathbb R^+$. \end{itemize}

研究动机与目标

• 建立 x ∈ (0,1) 的连分数展开中连续部分商乘积和 Sn(x) = Σᵢ₌₁ⁿ aᵢ(x)aᵢ₊₁(x) 的弱大数定律与强大数定律。
• 从多分形与分形几何的角度，分析 Sn(x) 的增长速率。
• 确定各类递增函数 φ 下水平集 E(φ) = {x ∈ (0,1) : limₙ→∞ Sn(x)/φ(n) = 1} 的 Hausdorff 维数。
• 将经典的部分商和结果推广至其乘积和，动机源于对 Dirichlet 逼近定理的改进。

提出的方法

• 运用遍历理论与无限测度论技术，特别是将和 Sn(x) 视为非 L¹ 观测量 Ψ(x) = a₁(x)a₂(x) 的遍历和。
• 应用 Gauss 映射 T(x) = {1/x} 建模连分数动力系统，并定义部分商 aₙ(x) = a₁(Tⁿ⁻¹(x))。
• 应用 Borel–Cantelli 引理及涉及 log Φ(n)/Φ(n) 的级数收敛性准则，分析满足 ai(x)ai₊₁(x) > Φ(n) 无穷多次的集合的 Lebesgue 测度。
• 通过 dyadic 区间构造 Cantor 型子集，并利用函数 ψ(n) 精确控制区间长度，以估计 Hausdorff 维数。
• 利用除数函数 δ(n) = #{(a,b) : ab = n} 及其界 δ(n) ≤ c_ε n^ε，控制满足 ab = m 的对 (a,b) 的数量。
• 应用文献 [21] 中的引理 5.5 对整数分拆求和，以估计水平集的 s 维 Hausdorff 测度。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 n → ∞ 时，和 Sn(x) = Σᵢ₌₁ⁿ aᵢ(x)aᵢ₊₁(x) 的几乎必然渐近行为为何？
• RQ2 对于哪些函数 φ，水平集 E(φ) = {x : limₙ→∞ Sn(x)/φ(n) = 1} 具有正 Hausdorff 维数？
• RQ3 Hausdorff 维数 dimₕ E(φ) 如何随 φ(n) 的增长速率变化，特别是当 φ(n) = eⁿᵞ 或 φ(n) = e^{αn} 时？
• RQ4 是否可对和 Sn(x) 进行归一化，使其几乎必然收敛于一个有限非零常数？若可，适当的归一化方式为何？

主要发现

• 对任意 ε > 0，集合 {x ∈ (0,1) : |Sn(x)/(n log²n) − 1/(2 log 2)| ≥ ε} 的 Lebesgue 测度在 n → ∞ 时趋于零，确立了弱大数定律。
• 对 Lebesgue 几乎所有 x ∈ (0,1)，有 limₙ→∞ (Sn(x) − max₁≤ᵢ≤ₙ aᵢ(x)aᵢ₊₁(x)) / (n log²n) = 1/(2 log 2)，在剔除最大项后证明了强大数定律。
• 若 φ(n) = eⁿᵞ 且 0 < γ < 1/2，则 dimₕ E(φ) = 1。
• 若 φ(n) = e^{αn} 且 α > 1，则 dimₕ E(φ) = 1/(1 + α)。
• 若 φ(n) = eⁿᵞ 且 γ ≥ 1/2，则 dimₕ E(φ) = 1/2。
• 函数 φ ↦ dimₕ E(φ) 在 φ(n) = eⁿᵞ 且 γ = 1/2 处不连续，反映出水平集分形结构中的相变现象。