[论文解读] Limit theories and continuous orbifolds

Cosimo Restuccia|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2013

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 123被引用 6

一句话总结

本文研究了当中心电荷 $c \to 3$ 时，$N=2$ 超对称最小模型的极限，表明根据谱中量子数的不同缩放方式，会涌现出两种不同的共形场论。关键结果是明确构造并识别出两种极限理论：两个未紧化的实标量玻色子和两个自由费米子的自由 $N=2$ 超共形场论，以及其连续 $U(1)$ 系数轨道，两者均通过基于是 Kazama-Suzuki 余积模型中的几何解释，从最小模型的大水平极限导出。

ABSTRACT

Relativistic QFTs are in general defined by a collection of effective actions, describing the dynamics of quantum fields at different energy scales. The consequent natural idea of a space of theories is still a rather imprecise notion, since a detailed knowledge or a classification of QFTs is out of reach. In two dimensions the situation is in a better shape: in this context CFTs are under control in many instances, and we know sequences of rational theories emerging as end-points of RG flows. The present thesis explores the behaviour of sequences of rational two-dimensional CFTs when the central charge approaches its supremum. After a review of various notions useful to study limit theories, like the concept of averaged fields and the construction of continuous orbifolds, we analyse in detail the limit of sequences of N=2 supersymmetric CFTs that are connected by RG flows. The limit is not unique, since with extended Virasoro symmetry one can choose different scalings for the labels of the spectrum in the limit. We construct explicitly two c=3 CFTs emerging as the large level limit of minimal models, and we identify both of them: one is the N=2 CFT of two uncompactified free real bosons and two free real fermions, the other is its continuous orbifold by U(1). We compare spectrum, torus partition function, correlators and boundary conditions. The neatest interpretation of this result is given by studying the realisation of N=2 minimal models as gauged WZW models: taking the two different limits amounts to zooming into two different regions of the target-space geometry. At the end we speculate about possible extensions and generalisations.

研究动机与目标

• 理解当中心电荷趋近其上确界（$c \to 3$）时，一系列有理二维共形场论的行为。
• 澄清共形场论中极限理论的概念，特别是在重整化群流和谱缩放的背景下。
• 在大水平极限下，构造并识别从 $N=2$ 最小模型衍生出的极限共形场论。
• 通过 Kazama-Suzuki 余积模型的靶空间结构，探索不同极限的几何解释。
• 推测 $su(n+1)$ Kazama-Suzuki 模型的极限理论形式，提出其为自由理论的 $U(n)$ 连续轨道。

提出的方法

• 利用 $N=2$ 超共形代数框架及其作为规范 Wess-Zumino-Witten 模型的实现，分析 $N=2$ 最小模型的大水平极限。
• 应用平均场和连续轨道的概念，从有理理论序列构造极限 CFT。
• 比较极限理论与原始最小模型之间的关键可观测量——谱、环面划分函数、关联函数及边界条件。
• 利用世界面对偶性和 Cardy 的边界态形式，分析 D-膜存在下边界条件和一阶函数。
• 运用 Verlinde 公式和模 S 矩阵约束，确保边界态和圆环振幅的一致性。
• 将两种不同的极限解释为对应于底层 WZW 模型靶空间中不同几何区域。

实验结果

研究问题

• RQ1 $N=2$ 最小模型在 $c \to 3$ 时可能涌现出哪些共形场论？
• RQ2 为何极限不唯一？扩展的 Virasoro 对称性如何允许谱中量子数的不同缩放方式？
• RQ3 如何通过自由场和轨道投影，显式构造并识别出两种不同的极限理论？
• RQ4 在 Kazama-Suzuki 余积模型的背景下，两种不同极限的几何解释是什么？
• RQ5 能否将 $su(n+1)$ Kazama-Suzuki 模型的极限描述为自由 $N=2$ 理论的 $U(n)$ 连续轨道？其支持证据是什么？

主要发现

• 作为 $N=2$ 最小模型的大水平极限，出现两种不同的 $c=3$ 共形场论：两个未紧化的实标量玻色子和两个自由实费米子的自由 $N=2$ 超共形场论。
• 第二种极限理论被识别为自由 $N=2$ 理论的连续 $U(1)$ 轨道，通过在连续 $U(1)$ 变换上取平均构造而成。
• 两种极限理论通过其谱、环面划分函数、关联函数和边界条件加以区分，这些量均已显式计算并比较。
• 极限的非唯一性源于在扩展 Virasoro 对称性下，谱中量子数的不同缩放选择，导致底层 WZW 模型靶空间中出现不同的几何区域。
• 通过将 $N=2$ 最小模型解释为 $su(2)$ Kazama-Suzuki 余积，确认了极限的几何解释，其中两种极限分别对应于靶空间几何中不同区域的“放大”观察。
• 极限理论的边界谱支持了如下猜想：$su(n+1)$ Kazama-Suzuki 模型的 $c=3$ 极限是自由 $N=2$ 理论的 $U(n)$ 连续轨道，其依据在于一阶函数和边界态结构的匹配。