[论文解读] Limitations of variational quantum algorithms: a quantum optimal transport approach

Giacomo De Palma, Milad Marvian+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 94被引用 83

一句话总结

该论文利用一种新颖的量子最优传输框架，对变分量子算法（如QAOA和量子退火）在噪声和无噪声条件下的性能建立了紧致的、指数级微小的界限。证明了对于D-正则图上的Max-Cut问题，QAOA需要深度L ≥ (1/2) log(D+1) log n / 576 才能超越经典算法；并且在局部去极化噪声p存在时，性能在深度L = O(p⁻¹)处呈指数级退化，使得成功概率呈指数级下降。该工作引入了基于最优传输理论的新型量子熵不等式与集中不等式，提供了一个统一的工具包，可广泛应用于变分算法之外的领域。

ABSTRACT

The impressive progress in quantum hardware in the last years has raised the interest of the quantum computing community in harvesting the computational power of such devices. However, in the absence of error correction, these devices can only reliably implement very shallow circuits or comparatively deeper circuits at the expense of a nontrivial density of errors. In this work, we obtain extremely tight limitation bounds for standard NISQ proposals in both the noisy and noiseless regimes, with or without error-mitigation tools. The bounds limit the performance of both circuit model algorithms, such as QAOA, and also continuous-time algorithms, such as quantum annealing. In the noisy regime with local depolarizing noise $p$, we prove that at depths $L=\mathcal{O}(p^{-1})$ it is exponentially unlikely that the outcome of a noisy quantum circuit outperforms efficient classical algorithms for combinatorial optimization problems like Max-Cut. Although previous results already showed that classical algorithms outperform noisy quantum circuits at constant depth, these results only held for the expectation value of the output. Our results are based on newly developed quantum entropic and concentration inequalities, which constitute a homogeneous toolkit of theoretical methods from the quantum theory of optimal mass transport whose potential usefulness goes beyond the study of variational quantum algorithms.

研究动机与目标

• 在噪声和无噪声两种情形下，建立变分量子算法性能的严格、紧致限制。
• 基于量子最优传输理论，开发一种分析浅层和噪声量子线路的新理论工具包。
• 证明在现实噪声和深度约束下，误差缓解协议无法逆转性能退化。
• 证明经典算法不仅在期望上优于噪声量子线路，而且在指数级小的概率下，其结果更优。

提出的方法

• 利用量子最优传输理论中的(2, ∞)-Poincaré不等式，推导出新的量子熵不等式与集中不等式。
• 应用Milman的最优传输不等式，分析浅层量子线路在哈密顿空间{0,1}^n上输出态的测度集中性。
• 将噪声线路建模为单量子比特去极化噪声层，并推导出观察到高能量结果的概率界限。
• 采用扩张方法控制可观测量在酉演化下的利普希茨常数，从而通过Poincaré不等式获得方差界限。
• 分析虚拟纯化和期望估计等误差缓解协议，表明其在常数深度或对数深度下均会失效。
• 应用Wasserstein距离公式中的对偶性与迹范数估计，以界定连续时间演化下量子态的收缩性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于D-正则图上的Max-Cut问题，QAOA达到超越经典算法所需的最小电路深度是多少？
• RQ2 局部去极化噪声如何影响变分算法中观察到量子优势的概率？
• RQ3 误差缓解技术能否逆转浅层、噪声量子线路中的性能退化？
• RQ4 量子最优传输工具在多大程度上统一并改进了现有对量子线路输出分布界限的结果？
• RQ5 有限深度下，噪声量子线路输出测度的集中特性如何？

主要发现

• 对于D-正则图上的Max-Cut问题，QAOA需要深度L ≥ (1/2) log(D+1) log n / 576 才能超越经典算法，该结果在D上相比先前界限实现了指数级改进。
• 在局部去极化噪声p存在且深度L = O(p⁻¹)时，噪声量子线路优于经典算法的概率在量子比特数上呈指数级小。
• 即使采用误差缓解，如虚拟纯化等协议，在常数深度下成功概率仍呈指数级小；而期望估计在O(log n)深度下即告失效。
• 论文证明，当m = poly(n)时，m份噪声量子线路的叠加所提供的优势，无法显著超越m份平凡产品态的叠加。
• 所推导的量子最优传输工具包提供了一个统一的框架，整合并强化了先前关于量子线路中集中性与方差的研究结果。