[论文解读] Limitations to mollifying $\zeta(s)$

Maksym Radziwiłł|arXiv (Cornell University)|Jul 27, 2012

Analytic Number Theory Research参考文献 3被引用 4

一句话总结

本文確立了使用狄利克雷多項式對臨界線上的黎曼ζ函數ζ(s)進行光滑化時的基礎極限。本文證明了在無條件情況下，光滑化矩量積分𝒫(Mθ)的下界為𝒪(1/θ)，表明無論θ多麼大，任何長度為T^θ的光滑化器都無法使該積分顯著小於1/θ。在黎曼猜想與配對相關性猜想之下，該下界改善為(1+o(1))/(0.5+θ)，揭示了其與零點分佈之間的非平凡聯繫。

ABSTRACT

We establish limitations to how well one can mollify the Riemann zeta-function on the critical line with mollifiers of arbitrary length. Our result gives a non-trivial lower bound for the contribution of the off-diagonal terms to mollified moments of \\zeta(s). On the Riemann Hypothesis, we establish a connection between the mollified moment and Montgomery's Pair Correlation Function.

研究动机与目标

• 確定光滑化L²矩量∫|1−ζ(1/2+it)M(1/2+it)|²dt/T在臨界線上可能的最好下界。
• 研究長度θ>1的光滑化器是否能顯著改善由經典光滑化器Lθ所達成的已知下界𝒪(1/θ)。
• 探討在黎曼猜想下，光滑化矩量與蒙哥馬利配對相關性函數之間的關係。
• 確立經典光滑化器Lθ在θ<1/2時最小化光滑化矩量。
• 理解零點分佈在限制光滑化有效性中的作用。

提出的方法

• 使用積分𝒫(Mθ) = (1/T)∫_T^{2T} |1−ζ(1/2+it)Mθ(1/2+it)|²dt作為衡量光滑化器有效性的指標。
• 對θ<1/2的情形，應用巴拉斯布布拉馬尼安-孔瑞-希思-布朗的漸近公式來推導下界1/θ+o(1)。
• 將光滑化矩量分解為三個二次型S₁、S₂、S₃，分別涉及算術函數與乘法係數。
• 應用柯西-施瓦茨不等式，並對乘法函數的和進行估計，以界定S₁與S₂，表明它們相對於主項較小。
• 利用恆等式∑_{p^αℓ≤N} (log p)/p^α · φ(ℓ)/ℓ² · z(ℓ)z(p^αℓ) ≈ −1 + O((log log N)/log N) 來計算主項S₃。
• 綜合所有估計，推導出無條件下界𝒫(Mθ) ≥ c/θ（其中c>0為絕對常數），並在黎曼猜想與配對相關性猜想下進一步改進。

实验结果

研究问题

• RQ1 對於長度T^θ且θ>1的光滑化器，光滑化矩量∫|1−ζ(1/2+it)M(1/2+it)|²dt/T是否能顯著小於1/θ？
• RQ2 當θ<1/2時，經典光滑化器Lθ是否在最小化𝒫(Mθ)方面是最優的？
• RQ3 光滑化矩量與ζ(s)零點分佈（特別是在短區間內）之間的關係為何？
• RQ4 配對相關性猜想如何影響大θ時𝒫(Mθ)的下界？
• RQ5 能否透過利用與ζ函數零點的關聯，改進L²理論中的平凡下界？

主要发现

• 無條件地，存在一絕對常數c>0，使得對所有θ>0及所有係數滿足a(n)≪n^ε且a(1)=1的長度為T^θ的狄利克雷多項式Mθ，均有𝒫(Mθ) ≥ c/θ。
• 當θ<1/2時，常數c可取為1，因此𝒫(Mθ) ≥ 1/θ + o(1)，與巴拉斯布布拉馬尼安、孔瑞與希思-布朗的漸近公式一致。
• 在黎曼猜想與配對相關性猜想之下，下界改進為𝒫(Mθ) ≥ (1+o(1))/(0.5+θ)，表明更長的光滑化器在控制零點分佈方面更為有效。
• 光滑化器Lθ在所有長度為T^θ的狄利克雷多項式中最小化𝒫(Mθ)，當θ<1/2時成立。
• 光滑化矩量積分中的非對角項貢獻了一個非平凡的下界，即使使用最優光滑化器也無法消除。
• 分析揭示了光滑化矩量與ζ函數零點在長度為2π/(1+θ)log T的區間內分佈之間的深刻聯繫，且隨著θ增加，這些區間變得更窄。