[论文解读] Limiting distributions and large deviations for random walks in random environments

Jonathon Peterson|ArXiv.org|Oct 1, 2008

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 9被引用 27

一句话总结

本文研究了一维独立同分布随机环境中随机游走的极限分布与大偏差原理，分析了 quenched 与 annealed 概率测度。证明了 quenched 功能中心极限定理，识别了零速区域中的稳定极限行为，并在一维情形下建立了 annealed 率函数与 Fenchel-Legendre 变换相等的结果。

ABSTRACT

This thesis concerns the study of random walks in random environments (RWRE). Since there are two levels of randomness for random walks in random environments, there are two different distributions for the random walk that can be studied. The quenched distribution is the law of the random walk conditioned on a given environment. The annealed distribution is the quenched law averaged over all environments. The main results of the thesis fall into two categories: quenched limiting distributions for one-dimensional, transient RWRE and annealed large deviations for multidimensional RWRE. The analysis of the quenched distributions for transient, one-dimensional RWRE falls into two separate cases. First, when an annealed central limit theorem holds, we prove that a quenched central limit theorem also holds but with a random (depending on the environment) centering. In contrast, when the annealed limit distribution is not Gaussian, we prove that there is no quenched limiting distribution for the RWRE. Moreover, we show that for almost every environment, there exist two random (depending on the environment) sequences of times, along which random walk has different quenched limiting distributions. While an annealed large deviation principle for multidimensional RWRE was known previously, very little qualitative information was available about the annealed large deviation rate function. We prove that if the law on environments is non-nestling, then the annealed large deviation rate function is analytic in a neighborhood of its unique zero (which is the limiting velocity of the RWRE).

研究动机与目标

• 刻画瞬态一维随机环境中随机游走的 quenched 极限分布。
• 为首次通过时间与游走路径本身建立 quenched 功能中心极限定理。
• 分析零速区域，识别稳定极限行为及非局域子序列效应。
• 为 annealed 测度推导大偏差原理，并在一维情形下证明 annealed 率函数与 Fenchel-Legendre 变换相等。
• 研究不同区域中首次通过时间方差与尾部概率的渐近行为。

提出的方法

• 使用 quenched 与 annealed 概率测度分析随机环境中路径的行为。
• 应用随机时间变换技术，将首次通过时间极限与游走路径极限关联。
• 对首次通过时间分布与环境依赖期望应用技术性估计。
• 应用大偏差理论，推导 annealed 率函数的上下界。
• 使用耦合论证与路径分解方法，对涉及首次通过时间的概率进行上界估计。
• 应用 Fenchel-Legendre 变换的解析性与极限论证，证明率函数相等。

实验结果

研究问题

• RQ1 在瞬态、一维随机环境中，随机游走的 quenched 极限分布是什么？
• RQ2 在零速区域中，quenched 与 annealed 测度下的极限分布有何差异？
• RQ3 在零速与弹道区域中，首次通过时间的 quenched 方差的渐近行为如何？
• RQ4 在何种条件下，annealed 率函数等于累积生成函数的 Fenchel-Legendre 变换？
• RQ5 quenched 极限中的非局域行为的本质是什么？它如何在子序列上表现？

主要发现

• 当环境矩条件 $ s > 2 $ 时，瞬态一维环境中随机游走的 quenched 功能中心极限定理成立。
• 在零速区域中，期望首次通过时间表现出稳定行为，且存在一个非局域子序列环境，导致重尾尾部渐近行为。
• 首次通过时间 $ T_\nu $ 的 quenched 方差满足 $ \mathbb{E}_\omega T_\nu \sim \nu^s $（当 $ s < 2 $ 时），表明存在异常扩散。
• 在弹道区域中，沿子序列的 $ T_\nu $ 的 quenched 极限表现出指数尾部行为，且率函数与 Fenchel-Legendre 变换一致。
• 在一维情形下，annealed 率函数 $ \bar{J}(v) $ 等于 Fenchel-Legendre 变换 $ H(v) $，在大偏差理论中建立了关键恒等式。
• 等式 $ \bar{J}(0) = H(0) $ 的证明依赖于涉及首次通过时间与环境依赖存活概率的双重极限论证，确认了率函数在零点的连续性。