[论文解读] Limits of Moishezon Manifolds under Holomorphic Deformations

Dan Popovici|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2010

Geometry and complex manifolds参考文献 4被引用 7

一句话总结

本文证明了，若一个全纯族的其他所有纤维均为Moishezon，则该族的中心纤维也是Moishezon。通过在中心纤维上使用强Gauduchon度量（其存在性由一般纤维上的$\partial\bar{\partial}$-引理保证），证明了相对Barlet除子空间的不可约分支在基上是正规的，从而确保中心纤维具有最大代数维数，因此为Moishezon。

ABSTRACT

Given a (smooth) complex analytic family of compact complex manifolds, we prove that the central fibre must be Moishezon if the other fibres are Moishezon. Using a "strongly Gauduchon metric" on the central fibre whose existence was proved in our previous work on limits of projective manifolds, we show that the irreducible components of the relative Barlet space of divisors contained in the fibres are proper over the base even under the weaker assumption that the $\partial\bar\partial$-lemma hold on all the fibres except, possibly, the central one. This implies that the algebraic dimension of the central fibre cannot be lower than that of the generic fibre. Since the latter is already maximal thanks to the Moishezon assumption, the central fibre must be of maximal algebraic dimension, hence Moishezon.

研究动机与目标

• 建立紧致复流形全纯形变下Moishezon性质的不变性。
• 将先前要求纤维为射影的结论推广至更广泛的Moishezon纤维类。
• 证明在该类形变下，中心纤维的代数维数不会低于一般纤维的代数维数。
• 在非中心纤维上假设$\partial\bar{\partial}$-引理成立的条件下，证明相对Barlet除子空间不可约分支的正规性。
• 证明中心纤维上强Gauduchon度量的存在性在小形变下保持不变，从而实现对除子体积的统一有界性。

提出的方法

• 利用$X_0$上强Gauduchon度量的存在性以及对$t \neq 0$的$X_t$上的$\partial\bar{\partial}$-引理，构造纤维$X_t$上$C^\infty$-族的强Gauduchon度量$(\gamma_t)_{t \in \Delta}$。
• 利用一般纤维上的$\partial\bar{\partial}$-引理，确保存在$\bar{\partial}_t$-势函数$\zeta_t^{n,n-2}$，使得$\partial_t \gamma_t^{n-1} = \bar{\partial}_t \zeta_t^{n,n-2}$，从而保证其对$t$的光滑依赖性。
• 应用Stokes定理，将形如$\int_X \beta_t^{0,1} \wedge \partial_t \gamma_t^{n-1}$的积分与$\int_X \alpha_t^{0,2} \wedge \zeta_t^{n,n-2}$联系起来，证明除子体积的统一有界性。
• 利用Remmert的正规映射定理，推导出相对Barlet空间$\mathcal{C}^{n-1}(\mathcal{X}/\Delta)$的不可约分支在投影$\mu_{n-1}$下的像为$\Delta$的解析子集。
• 通过证明趋近于中心纤维的横截族中除子体积的统一有界性，证明相对Barlet空间的不可约分支在$\Delta$上正规。
• 最终得出结论：由于中心纤维$X_0$继承了来自一般纤维的足够多的除子，其代数维数达到最大，因此为Moishezon。

实验结果

研究问题

• RQ1 Moishezon性质在紧致复流形的全纯形变下是否保持不变？
• RQ2 在不假设中心纤维上满足$\partial\bar{\partial}$-引理的条件下，能否建立相对Barlet除子空间不可约分支的正规性？
• RQ3 中心纤维上强Gauduchon度量的存在性在小全纯形变下是否稳定？
• RQ4 在除中心纤维外所有纤维上均满足$\partial\bar{\partial}$-引理的条件下，能否证明中心纤维的代数维数不小于一般纤维？
• RQ5 $\partial\bar{\partial}$-引理在控制全纯复流形族中除子族几何性质方面起什么作用？

主要发现

• 若全纯族$\pi: \mathcal{X} \to \Delta$的其他所有纤维$X_t$（$t \in \Delta^\star$）均为Moishezon，则其中心纤维$X_0$也是Moishezon。
• 在所有满足$t \neq 0$的纤维$X_t$上均满足$\partial\bar{\partial}$-引理的假设下，相对Barlet空间$\mathcal{C}^{n-1}(\mathcal{X}/\Delta)$的不可约分支在基$\Delta$上正规。
• 中心纤维$X_0$的代数维数不小于一般纤维的代数维数；由于一般纤维为Moishezon（即具有最大代数维数），故$X_0$亦为Moishezon。
• 若所有$t \in \Delta^\star$的$X_t$上均满足$\partial\bar{\partial}$-引理，则$X_0$上存在强Gauduchon度量，且在适当缩小$\Delta$后，该度量可延拓为所有纤维上的$C^\infty$-族强Gauduchon度量。
• 当$t \to 0$时，任意有效除子$Z_t \subset X_t$的体积有统一有界性，这是由于度量与势形式对$t$的光滑依赖性所致。
• 投影$\mu_{n-1}: \mathcal{C}^{n-1}(\mathcal{X}/\Delta) \to \Delta$在不可约分支上的正规性，确保了中心纤维继承了足够丰富的除子族，从而实现最大代数维数。