[论文解读] Limits of multiplicative inhomogeneous random graphs and Lévy trees: The continuum graphs

Nicolas Broutin, Thomas Duquesne+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2018

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文通过将离散图嵌入Galton–Watson森林的创新方法，引入了连续乘法图作为临界非均匀随机图（包括Erdős–Rényi模型和配置模型）的通用缩放极限。通过将深度优先探索过程与Lévy过程关联，作者建立了定义度量的局部时间泛函的存在性，从而在连续极限中实现了分形维数和紧致性的清晰推导。

ABSTRACT

Motivated by limits of critical inhomogeneous random graphs, we construct a family of sequences of measured metric spaces that we call continuous multiplicative graphs, that are expected to be the universal limit of graphs related to the multiplicative coalescent (the Erdős--Rényi random graph, more generally the so-called rank-one inhomogeneous random graphs of various types, and the configuration model). At the discrete level, the construction relies on a new point of view on (discrete) inhomogeneous random graphs that involves an embedding into a Galton--Watson forest. The new representation allows us to demonstrate that a processus that was already present in the pionnering work of Aldous [Ann. Probab., vol.~25, pp.~812--854, 1997] and Aldous and Limic [Electron. J. Probab., vol.~3, pp.~1--59, 1998] about the multiplicative coalescent actually also (essentially) encodes the limiting metric: The discrete embedding of random graphs into a Galton--Watson forest is paralleled by an embedding of the encoding process into a Lévy process which is crucial in proving the very existence of the local time functionals on which the metric is based; it also yields a transparent approach to compactness and fractal dimensions of the continuous objects. In a companion paper, we show that the continuous Lévy graphs are indeed the scaling limit of inhomogeneous random graphs.

研究动机与目标

• 构建一族测度度量空间——连续乘法图，使其成为临界非均匀随机图的通用缩放极限。
• 通过引入图向Galton–Watson森林的新离散嵌入，解决在极限中编码度量结构的挑战。
• 通过将探索过程嵌入Lévy过程，在连续极限中建立局部时间泛函的存在性。
• 为分析极限度量空间的分形维数和紧致性提供一个清晰的框架。
• 为证明连续乘法图作为一类秩一非均匀随机图（包括Erdős–Rényi和配置模型）的缩放极限奠定基础。

提出的方法

• 通过编码组件结构和通过局部时间泛函定义度量的深度优先探索过程，表示离散非均匀随机图。
• 提出一种将图嵌入Galton–Watson森林的新方法，以利用独立性并简化极限分析。
• 在连续极限中将离散探索过程映射为Lévy过程，确保定义度量所必需的局部时间泛函的存在性。
• 通过夹紧构造定义极限度量：将有限个夹紧点集合附近距离ε内的点识别，同时在这些点之外保持局部等距性。
• 利用商映射下有限测度的拉回，比较原始空间与夹紧空间的Hausdorff维数和度量维数。
• 利用Rogers–Taylor和Taylor–Tricot关于Hausdorff与度量测度的结果，界定极限度量空间的维数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构建一族连续乘法图作为临界非均匀随机图的缩放极限？
• RQ2 如何以一种在极限过程中能保持不变的方式编码此类图的度量结构？
• RQ3 Lévy过程在确保定义连续极限中度量的局部时间泛函存在性方面起什么作用？
• RQ4 极限度量空间的分形维数与原始离散图的分形维数有何关系？
• RQ5 在何种意义下，深度优先探索过程在极限中等价于乘法共alescent过程？

主要发现

• 连续乘法图被构造为临界秩一非均匀随机图（包括Erdős–Rényi和配置模型）的缩放极限。
• 离散模型中使用的深度优先探索过程在极限中对应于Lévy过程，从而确保了定义度量的局部时间泛函的存在性。
• 极限度量空间在有限个夹紧点之外与原始空间局部等距，从而保持了局部几何结构。
• 在适当的测度条件下，极限空间的Hausdorff维数和度量维数满足不等式 $ a \leq \mathrm{dim}_{\mathrm{H}}(E^\prime) \leq \mathrm{dim}_{\mathrm{H}}(E_0) $ 和 $ b \leq \mathrm{dim}_{\mathrm{p}}(E^\prime) \leq \mathrm{dim}_{\mathrm{p}}(E_0) $。
• 该构造为证明极限对象的紧致性并表征其分形性质提供了清晰的框架。
• 夹紧构造确保商空间 $ E/\!\equiv_{\boldsymbol{\Pi},\varepsilon} $ 以保持夹紧点外局部等距的方式继承度量结构。