[论文解读] Linear codes with two or three weights from weakly regular bent functions

Chunming Tang, Nian Li+3 more|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2015

Coding theory and cryptography参考文献 12被引用 7

一句话总结

本文将丁等和周等人的工作从弱正则弯函数推广至更一般的弱正则弯函数，构建了两类和三类权重的线性码。利用分圆域理论，本文完全确定了这些码的权重分布，并解决了关于平面函数所生成码的权重分布的开放问题。关键贡献在于：码的权重分布完全由弯函数的沃尔什变换的符号决定，从而构造出新的低权重最优码。

ABSTRACT

Linear codes with few weights have applications in consumer electronics, communication, data storage system, secret sharing, authentication codes, association schemes, and strongly regular graphs. This paper first generalizes the method of constructing two-weight and three-weight linear codes of Ding et al. \cite{DD2015} and Zhou et al. \cite{ZLFH2015} to general weakly regular bent functions and determines the weight distributions of these linear codes. It solves the open problem of Ding et al. \cite{DD2015}. Further, this paper constructs new linear codes with two or three weights and presents the weight distributions of these codes. They contains some optimal codes meeting certain bound on linear codes.

研究动机与目标

• 将丁等和周等人的工作从弱正则弯函数推广至所有弱正则弯函数
• 利用分圆域理论完全确定这些线性码的权重分布
• 解决丁等提出的关于平面函数所生成码的权重分布的开放问题
• 构造新的两类和三类权重线性码，其定义集与先前构造不同
• 识别出满足已知码参数界的新最优线性码

提出的方法

• 将丁等和周等人的码构造方法推广至任意弱正则弯函数
• 使用迹函数 $\mathrm{Tr}_{1}^{m}(F(x))$ 定义定义集 $D = \{x \in \mathbb{F}_q^\times : \mathrm{Tr}_{1}^{m}(F(x)) = 0\}$
• 定义线性码 $\mathcal{C}_D = \{ (\mathrm{Tr}_{1}^{m}(\beta d_1), \dots, \mathrm{Tr}_{1}^{m}(\beta d_n)) : \beta \in \mathbb{F}_q \}$，其中 $D$ 为定义集
• 应用分圆域理论分析指数和，以确定权重分布
• 依赖于弱正则弯函数的沃尔什变换符号，完全刻画权重分布
• 通过使用替代定义集（如 $D_{f,\text{sq}}$、$D_{f,\text{nsq}}$ 及其补集）构造新码，生成新的两类和三类权重码

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将丁等和周等人的两类和三类权重码的构造方法推广至所有弱正则弯函数？
• RQ2 使用推广方法从弱正则弯函数构造的线性码的完整权重分布是什么？
• RQ3 弱正则弯函数的沃尔什变换符号是否能完全决定其关联线性码的权重分布？
• RQ4 能否通过不同的定义集构造出新的两类和三类权重线性码，并使其为最优码？
• RQ5 这些码的权重分布与秘密共享、关联方案及强正则图的应用有何关联？

主要发现

• 从弱正则弯函数构造的线性码的权重分布，完全由该弯函数的沃尔什变换符号决定。
• 通过将构造方法推广至弱正则弯函数，解决了丁等提出的关于平面函数所生成码的权重分布的开放问题。
• 构造了新的两类和三类权重线性码，其定义集与先前工作不同，从而产生额外的最优码。
• 对于函数 $f(x) = \mathrm{Tr}_1^m(cx^{(3^i+1)/2})$，其中 $i$ 为奇数且 $\gcd(i,m) = 1$，零点处的沃尔什变换为 $\mathcal{W}_f(0) = (-1)^{m-1}\eta(c)\sqrt{p^*}^m$，符号 $\varepsilon = (-1)^{m-1}\eta(c)$ 完全决定了权重分布。
• 对于Coulter-Matthews弯函数，码 $\mathcal{C}_{D_f}$、$\mathcal{C}_{\overline{D}_f}$、$\mathcal{C}_{D_{f,\text{sq}}}$、$\mathcal{C}_{\overline{D}_{f,\text{sq}}}$、$\mathcal{C}_{D_{f,\text{nsq}}}$ 和 $\mathcal{C}_{\overline{D}_{f,\text{nsq}}}$ 的权重分布均被完全确定。