[论文解读] Linear sections of the Severi variety and moduli of curves

Maksym Fedorchuk|ArXiv.org|Oct 8, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用 5

一句话总结

本文推导出计算在不可约平面曲线的Severi簇的一维线性截面上传播Hodge丛次数的递归公式，从而实现对模空间 $\overline{M}_g$ 中与边界除子相交数的计算。该方法利用Caporaso-Harris递归与Mumford公式，推导出有效除子斜率的下界，并解决Severi簇上的枚举问题，例如计算通过一般点且具有指定奇点的曲线数量。

ABSTRACT

We study the Severi variety $V_{d,g}$ of plane curves of degree $d$ and geometric genus $g$. Corresponding to every such variety, there is a one-parameter family of genus $g$ stable curves whose numerical invariants we compute. Building on the work of Caporaso and Harris, we derive a recursive formula for the degrees of the Hodge bundle on the families in question. For $d$ large enough, these families induce moving curves in $\bar{M}_g$. We use this to derive lower bounds for the slopes of effective divisors on $\bar{M}_g$. Another application of our results is to various enumerative problems on $V_{d,g}$.

研究动机与目标

• 计算不可约平面曲线的Severi簇的一维线性截面上Hodge丛的次数。
• 推导这些截面与$\overline{M}_g$中边界除子及Hodge类相交数的递归公式。
• 利用Severi簇截面作为移动曲线，建立$\overline{M}_g$中有效除子斜率的下界。
• 通过Severi簇上的交集理论解决$V^{d,\delta}_{\text{irr}}$上的枚举问题，例如计算具有尖点、切点或三重点及$\delta$个节点的曲线数量。
• 通过所推导的递归公式验证并扩展已知的具有特殊奇点的曲线簇次数公式。

提出的方法

• 通过$\mathbb{P}^2$中$N-1$个一般点的超平面，构造Severi簇$V^{d,\delta}_{\text{irr}}$的一维线性截面，其中$N = \dim V_{d,g}$。
• 应用Caporaso-Harris递归计算Severi簇$N^{d,\delta}_{\text{irr}}$及其相关不变量的次数。
• 推导出递归公式（定理1.11）：$L^{d,\delta}_{\text{irr}} = C^{d,\delta}_{\text{irr}} \cdot \lambda$，即截面曲线上传播Hodge丛的次数。
• 利用Mumford公式$C = 12\lambda - \Delta$，将与边界除子$\Delta$及Hodge类$\lambda$的交数联系起来。
• 使用$B^{d,\delta}(\alpha,\beta)$的递归公式，计算与计数特定奇点曲线的除子$B$的交数。
• 通过与Kleiman-Piene及Vakil等已知文献中关于$\delta \leq 3$及$g = 0,1,2,3$的结果比对，验证了结果的正确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 不可约平面曲线（次数为$d$，几何亏格为$g$）的Severi簇的一维线性截面上，Hodge丛的次数是多少？
• RQ2 如何计算此类截面与$\overline{M}_g$中边界除子$\Delta_0, \Delta_1, \dots$的交数？
• RQ3 如何利用这些截面作为移动曲线，建立$\overline{M}_g$中有效除子斜率的下界？
• RQ4 如何通过Severi簇上的交集理论，计算具有一个尖点、切点或三重点及$\delta$个节点的不可约平面曲线的数量？
• RQ5 在$V^{d,\delta}_{\text{irr}}$中，具有单个三重点及$\delta$个节点的曲线簇的结构与次数是什么？

主要发现

• 本文推导出$ L^{d,\delta}_{\text{irr}} = C^{d,\delta}_{\text{irr}} \cdot \lambda $的递归公式，即线性截面曲线上Hodge丛的次数，从而可计算$\overline{M}_g$中的交数。
• 当$\delta = 1$时，Hodge丛的次数为$ L^{d,1} = \frac{3}{2}(d-1)(d-2)(d-3)(d+1) $，其为关于$d$的四次多项式。
• 当$\delta = 2$时，Hodge丛的次数为$ L^{d,2} = \frac{1}{4}(9d^6 - 63d^5 + 66d^4 + 333d^3 - 553d^2 - 480d + 828) $，其为关于$d$的六次多项式。
• 在$C^{d,1}_{\text{irr}}$中，尖点曲线的数量为$12(d-1)(d-2)$，与经典公式一致。
• $B^{d,\delta}(\alpha,\beta)$的递归公式使得与计数特定奇点曲线的除子$B$的交数得以计算。
• 数值计算结果与Kleiman-Piene及Vakil在$\delta \leq 3$及$g = 0,1,2,3$时的已知结果一致，验证了该方法的有效性。