[论文解读] Linear Size Universal Point Sets for Classes of Planar Graphs

Stefan Felsner, Hendrik Schrezenmaier+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2023

Computational Geometry and Mesh Generation被引用 1

一句话总结

本文提出了一种大小为 $2n - 2$ 的爆炸双链点集，该点集作为二分平面图和度数至多为三的平面图的线性规模通用点集。关键贡献在于证明了所有具有单侧哈密顿圈的平面图（POSH 图）均可在此点集上实现无交叉嵌入，显著改进了 1 折线绘图的界，并将已知结果扩展至外平面图之外的图类。

ABSTRACT

A finite set $P$ of points in the plane is $n$-universal with respect to a class $\mathcal{C}$ of planar graphs if every $n$-vertex graph in $\mathcal{C}$ admits a crossing-free straight-line drawing with vertices at points of $P$. For the class of all planar graphs the best known upper bound on the size of a universal point set is quadratic and the best known lower bound is linear in $n$. Some classes of planar graphs are known to admit universal point sets of near linear size, however, there are no truly linear bounds for interesting classes beyond outerplanar graphs. In this paper, we show that there is a universal point set of size $2n-2$ for the class of bipartite planar graphs with $n$ vertices. The same point set is also universal for the class of $n$-vertex planar graphs of maximum degree $3$. The point set used for the results is what we call an exploding double chain, and we prove that this point set allows planar straight-line embeddings of many more planar graphs, namely of all subgraphs of planar graphs admitting a one-sided Hamiltonian cycle. The result for bipartite graphs also implies that every $n$-vertex plane graph has a $1$-bend drawing all whose bends and vertices are contained in a specific point set of size $4n-6$, this improves a bound of $6n-10$ for the same problem by Löffler and Tóth.

研究动机与目标

• 识别并表征可实现线性规模通用点集的平面图类别。
• 利用结构化的点集，改进现有 1 折线绘图和直线绘图的边界。
• 确立爆炸双链点集可支持远超外平面图类别的广泛平面图类的平面直线嵌入。
• 研究具有单侧哈密顿圈（POSH 图）的图的结构特性及其在特定点集上的可嵌入性。

提出的方法

• 引入大小为 $2n - 2$ 的爆炸双链点集 $H_n$，作为平面图的候选通用点集。
• 将 POSH（部分单侧哈密顿）图类定义为具有单侧哈密顿圈图的生成子图。
• 通过 2 页书嵌入的结构分析及边的后向边分离，证明点集中顶点位置的约束条件。
• 应用关于顶点分布的命题（例如相对于边的左、中、右部分的界限），推导出无交叉嵌入的条件。
• 利用已知结果，如 Petersen 定理（3-正则图中存在完美匹配），将一般平面图转化为二分图。
• 证明通过嵌入其对偶图并利用大小界，同一组点集可支持所有 $n$ 个顶点的平面图的 1 折线绘图。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为外平面图之外的非平凡平面图类构造真正线性规模 $O(n)$ 的通用点集？
• RQ2 爆炸双链点集是否支持所有具有单侧哈密顿圈的平面图的平面直线嵌入？
• RQ3 支持所有 $n$ 个顶点平面图的 1 折线绘图的最小点集大小是多少？能否超越先前的边界？
• RQ4 二分平面图和度数至多为三的平面图是否可嵌入在大小为 $2n - 2$ 的通用点集上？
• RQ5 诸如 2-树或系列-平行图等图类为何不满足 POSH 性质，这对线性通用点集的构造意味着什么？

主要发现

• 对于具有 $n$ 个顶点的二分平面图类，存在大小为 $2n - 2$ 的通用点集。
• 同一大小为 $2n - 2$ 的点集对所有最大度数为 3 的 $n$ 个顶点平面图也是通用的。
• POSH 图类——即具有单侧哈密顿圈的图——可嵌入在爆炸双链点集上，其适用范围已扩展至外平面图之外。
• 该结果意味着所有 $n$ 个顶点平面图的 1 折线绘图边界为 $4n - 6$，优于先前的 $6n - 10$ 的边界。
• 并非所有 2-树都是 POSH 图，且通过此方法，2-树类无法获得线性通用点集，表明该方法存在局限性。
• 本文通过 2 页书嵌入中顶点分布约束的结构表征，对非 POSH 图进行了刻画，证明了构造出的 499 个顶点的反例不可嵌入。