[论文解读] Linear topologies on $\Z$ are not Mackey topologies

Lydia Außenhofer, Daniel de la Barrera Mayoral|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2011

Advanced Topology and Set Theory参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文证明，整数 ℤ 上的任何非离散线性拓扑都不是 Mackey 拓扑，从而以否定方式回答了 Dikranjan 关于 ℤ 上 p 进拓扑是否为 Mackey 拓扑的问题。通过构造一个严格更细的可度量局部拟凸群拓扑，其具有相同的特征群，作者证明了 ℤ 上的线性拓扑在相容拓扑中不具有最大性，因此不可能是 Mackey 拓扑。

ABSTRACT

In this article it is shown that to every non-discrete Hausdorff linear topology on $\Z$ other metrizable locally quasi-convex group topologies can be associated which are strictly finer than the linear topology and such that the character groups coincide. Applying this result to the $p$-adic topology on $\Z$, we give a negative answer to the question of Dikranjan, whether this topology is Mackey.

研究动机与目标

• 解决 Dikranjan 提出的关于 ℤ 上 p 进拓扑是否为 Mackey 拓扑的开放问题。
• 研究 ℤ 上的线性群拓扑是否能在相容的局部拟凸拓扑中达到最大性（即成为 Mackey 拓扑）。
• 分析 ℤ 上相容拓扑的结构，重点关注特征群与对偶性。
• 通过构造具有相同对偶群的严格更细相容拓扑，建立 ℤ 上非离散线性拓扑不能是 Mackey 拓扑的结论。

提出的方法

• 利用阿贝尔拓扑群的对偶理论，重点关注特征群和相容拓扑的概念。
• 应用局部拟凸群的概念以及极化/预极化构造，以分析拓扑性质。
• 构造一个严格比给定线性拓扑 λ 更细的可度量群拓扑 τ，使得 (ℤ, λ)∧ = (ℤ, τ)∧。
• 通过使用序列 (b_n) ∈ D∞ 的构造方法，定义拓扑 τ_b，并通过将其嵌入 c₀(𝕋) 来关联其与特征群的关系。
• 通过对 ℝ/ℤ 中元素的整数倍进行估计，当假设 λ 是 Mackey 拓扑时导出矛盾。
• 应用 c₀(X) 及其对偶的相关结果，证明 ℤ → c₀(𝕋) 的嵌入是对偶嵌入，从而支持证明中所需的拓扑比较构造。

实验结果

研究问题

• RQ1 ℤ 上的 p 进拓扑是否为 Mackey 拓扑？
• RQ2 ℤ 上的任何非离散线性拓扑能否是其特征群的 Mackey 拓扑？
• RQ3 ℤ 上是否存在一个可度量局部拟凸群拓扑是 Mackey 拓扑？
• RQ4 ℤ 上是否存在一个可度量预紧 Mackey 拓扑，且不包含真开子群？
• RQ5 由 k ↦ αk + ℤ（α 为无理数）诱导的 ℤ 上的拓扑 λ_α 是否为 Mackey 拓扑？

主要发现

• 任何非离散线性拓扑在 ℤ 上都不是 Mackey 拓扑，因为这类拓扑在相容的局部拟凸群拓扑中不具有最大性。
• 对于 ℤ 上的任意非离散线性拓扑 λ，存在一个严格更细的可度量局部拟凸群拓扑 τ，使得 (ℤ, λ)∧ = (ℤ, τ)∧。
• ℤ 上的 p 进拓扑不是 Mackey 拓扑，从而为 Dikranjan 的问题提供了否定答案。
• 该构造依赖于序列 (b_n) ∈ D∞ 来定义拓扑 τ_b，并证明 λ_b < τ_b，同时保持特征群不变。
• 嵌入 ℤ → c₀(𝕋) 是对偶嵌入，这支持了证明中使用的对偶性论证。
• 关键矛盾源于对 ℝ/ℤ 中元素整数倍的估计，表明某个特征函数无法映射到 𝕋₊，从而违反了拟凸性。