[论文解读] Linearly many rainbow trees in properly edge-coloured complete graphs

Alexey Pokrovskiy, Benny Sudakov|BIROn (Birkbeck, University of London)|Mar 21, 2017

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文证明了每个适当边着色的完全图 $K_n$ 至少包含 $10^{-6}n$ 条边不相交的同构彩虹生成树，显著改进了关于三个主要猜想（Brualdi-Hollingsworth、Kaneko-Kano-Suzuki 和 Constantine）的先前界限。该结果通过概率和极值组合技巧实现，建立了在任何适当边着色下此类树数量的线性下界。

ABSTRACT

A subgraph of an edge-coloured complete graph is called rainbow if all its edges have different colours. The study of rainbow decompositions has a long history, going back to the work of Euler on Latin squares. In this paper we discuss three problems about decomposing complete graphs into rainbow trees: the Brualdi-Hollingsworth Conjecture, Constantine's Conjecture, and the Kaneko-Kano-Suzuki Conjecture. We show that in every proper edge-colouring of $K_n$ there are $10^{-6}n$ edge-disjoint spanning isomorphic rainbow trees. This simultaneously improves the best known bounds on all these conjectures. Using our method we also show that every properly $(n-1)$-edge-coloured $K_n$ has $n/9$ edge-disjoint rainbow trees, giving further improvement on the Brualdi-Hollingsworth Conjecture.

研究动机与目标

• 改进关于彩虹树分解的 Brualdi-Hollingsworth、Kaneko-Kano-Suzuki 和 Constantine 猜想的最佳已知定量界限。
• 在任何适当边着色的 $K_n$ 中，建立边不相交同构彩虹生成树数量的线性下界。
• 证明可以找到具有指定结构特性的此类树（例如，度数受控的蜘蛛图），从而将研究范围从同构性扩展至更广泛结构。
• 探讨在有界着色下彩虹树存在的鲁棒性，与适当着色形成对比。

提出的方法

• 使用概率构造方法在适当边着色的 $K_n$ 中嵌入多条边不相交的彩虹树。
• 证明利用极值图论和着色约束，以确保边不相交性和彩虹性质。
• 应用关键引理来构建特定类型的树，如度数分布受控的 $t$-蜘蛛图。
• 该方法被调整以处理一般适当着色以及 $K_n$ 的 $(n-1)$-边着色特殊情况。
• 隐含地运用了拉姆齐理论和典型着色技术以确保彩虹结构。
• 论证结合了结构归纳与随机嵌入，实现了大小为线性的树族。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个适当边着色的 $K_n$ 是否能包含 $\Omega(n)$ 条边不相交的同构彩虹生成树？
• RQ2 在适当边着色的 $K_n$ 中，边不相交彩虹生成树数量的最佳可能下界是什么？
• RQ3 是否可以同时嵌入特定类型的树（如有界度数的蜘蛛图）作为边不相交的彩虹树？
• RQ4 在 $b$-有界着色下，线性数量的彩虹树是否存在，还是仅在适当着色下成立？
• RQ5 该结果能否推广至在 $K_n$ 中寻找任意 $n$-顶点树的彩虹副本？

主要发现

• 本文在每个适当边着色的 $K_n$ 中建立了 $10^{-6}n$ 条边不相交同构彩虹生成树的下界。
• 该结果同时改进了 Brualdi-Hollingsworth、Kaneko-Kano-Suzuki 和 Constantine 猜想的最佳已知界限。
• 对于 $(n-1)$-边着色的 $K_n$，本文证明了存在 $n/9 - 6$ 条边不相交的彩虹树。
• 该方法允许构建 $0.000001n$ 条边不相交的彩虹生成蜘蛛图，其度数在 $0.003n$ 到 $0.2n$ 之间。
• 作者表明，该结果无法推广至 $9$-有界着色，因为此类着色可能甚至不包含一条半径为 2 的生成彩虹树。
• Balogh、Liu 和 Montgomery 的近期结果证实了 $\epsilon n$ 条边不相交的生成彩虹树的存在，支持了这些猜想的渐近正确性。