[论文解读] Local Anomalies, Local Equivariant Cohomology and the Variational Bicomplex

Roberto Ferreiro Pérez|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2006

Advanced Operator Algebra Research参考文献 22被引用 5

一句话总结

本文通过局部等变上同调与变分双复形，为量子场论中的局部反常建立了几何框架。证明了反常抵消条件——特别是引力、规范及混合反常——可简化为喷丛中特定上同调类的消失，其显式判据由相对 Gelfand-Fuchs 上同调与 Weil 多项式导出。

ABSTRACT

The locality conditions for the vanishing of local anomalies in field theory are shown to admit a geometrical interpretation in terms of local equivariant cohomology, thus providing a method to deal with the problem of locality in the geometrical approaches to the study of local anomalies based on the Atiyah-Singer index theorem. The local cohomology is shown to be related to the cohomology of jet bundles by means of the variational bicomplex theory. Using these results and the techniques for the computation of the cohomology of invariant variational bicomplexes in terms of relative Gel'fand-Fuks cohomology introduced in [6], we obtain necessary and sufficient conditions for the cancellation of local gravitational and mixed anomalies.

研究动机与目标

• 解决 Singer 提出的关于几何反常方法中合适局部上同调概念的定义问题。
• 以局部等变上同调的形式，为反常抵消的局部性条件提供几何解释。
• 利用喷丛上同调，推导出局部引力与混合反常抵消的必要与充分条件。
• 通过变分双复形，建立截面空间局部上同调与喷丛上同调之间的同构关系。
• 将这些工具应用于黎曼度量在微分同胚作用下的情形，以及主丛上联络在自同构作用下的情形。

提出的方法

• 使用积分映射 $\Im: \Omega^{n+k}(J^\infty E) \to \Omega^k(\Gamma(E))$ 在截面空间 $\Gamma(E)$ 上定义局部形式，将形式从喷丛上提起。
• 应用变分双复形形式化，将 $\Gamma(E)$ 的上同调与 $J^\infty E$ 的上同调联系起来，特别是通过内欧拉算子 $I$。
• 引入 $E$ 上群作用的局部 $\mathcal{G}$-不变上同调，建立同构 $H_{\text{loc}}^k(\Gamma(E))^\mathcal{G} \cong H^k(\mathcal{F}^\bullet(J^\infty E))^\mathcal{G}$。
• 采用 [3] 中的相对 Gelfand-Fuchs 上同调技术，计算不变变分双复形的上同调。
• 应用 Atiyah-Singer 家族指标定理计算行列式线丛的等变曲率，从而得出反常形式。
• 利用同构 $H_{\text{loc}}^2(\mathfrak{Met}M \times \mathcal{A}_P)^{\mathrm{Aut}^+P} \cong H^{n+2}(J^\infty(\mathcal{M}_M \times_M C(P)))^{\mathrm{Aut}^+P}$，将反常条件转化为上同调类的消失。

实验结果

研究问题

• RQ1 在场论中，捕捉反常局部性的正确几何局部上同调概念是什么？
• RQ2 如何利用变分双复形与喷丛形式化，表征截面空间上的局部形式？
• RQ3 局部引力与混合反常抵消的必要与充分条件是什么？
• RQ4 微分同胚对度量与自同构对联络的作用，如何影响局部反常的结构？
• RQ5 反常抵消条件能否独立于特定流形或丛而存在，仅依赖于群结构与维度？

主要发现

• 当 $k > 0$ 时，局部上同调 $H_{\text{loc}}^k(\Gamma(E))$ 同构于 $H^{n+k}(J^\infty E)$，从而可通过喷丛实现上同调计算。
• 对于在微分同胚作用下的黎曼度量空间，利用变分双复形与等变上同调构造出非平凡的局部上同调类。
• 在混合引力-规范情形中，反常抵消的第一个障碍由上同调类 $\Im\left[\left(\hat{A}(\mbox{\boldmath$\Omega$}) \wedge \mathrm{ch}^\rho(\mbox{\boldmath$\Omega$}) \wedge \mathrm{ch}^\beta(\mathbb{F})\right)_{n+2}\right]$ 给出。
• 混合反常当且仅当 Weil 多项式 $\hat{A}\mathrm{ch}^\rho \otimes \mathrm{ch}^\beta$ 中度数为 $n/2+1$ 的分量 $Q$ 在 $I^{SO(n)} \otimes I^G$ 中消失时才抵消。
• 规范反常与引力反常无法相互抵消，因为障碍类位于上同调的不同分量中。
• 反常抵消条件仅依赖于流形的维度 $n$ 与结构群 $G$，而不依赖于特定流形或丛。