[论文解读] Local Hochschild Homology of Hilbert-Schmidt Operators on Simplicial Spaces

Nicolae Teleman|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 2被引用 5

一句话总结

该论文建立了在可数、局部有限、齐次单纯复形 $X$ 上的希尔伯特-施密特算子的巴拿赫代数的局部霍赫希尔德同调与 $X$ 的亚历山大-斯潘纳同调之间的自然同构。该结果通过引入基于小波基和同伦算子的支持控制霍赫希尔德复形实现，表明尽管标准霍赫希尔德同调平凡，但同调仍捕捉到了 $X$ 的拓扑不变量。

ABSTRACT

Local Hochschild, cyclic Homology and K-theory were introduced by N. Teleman in [10] with the purpose of unifying different settings of the index theorem. This paper is one of the research topics announced in [10], §10. The definition of these new objects inserts the Alexander-Spanier idea for defining the co-homology [8] into the corresponding constructions. This is done by allowing only chains which have smal l support about the diagonal. This definition, applicable at least in the case of the Banach sub-algebras of the algebra of bounded operators on the Hilbert space of L2-sections in vector bundles, differs from various constructions due to A. Connes [1], A. Connes, H.Moscovici [2], M. Puschnigg [7], J. Cuntz [4]. In this paper we prove that the local Hochschild homology of the Banach algebra of Hilbert-Schmidt operators on any countable, locally finite homogeneous simplicial complex X is naturally isomorphic the Alexander-Spanier homology of the space X, Theorem 1. This result may be used to compute the local periodic cyclic homology of the algebra of Hilbert-Schmidt operators on such spaces X. The same result should hold in the case of the algebra of trace class operators L1 as well as in the case of smoothing operators s \subset L 1. In addition, the tools we introduce in this paper should apply also for computing the local Hochschild and periodic cyclic homology of the Schatten class ideals Lp, at least for the other values 1 < p < 2. Parts of what is presented here were stated in author's lecture at the International Alexandroff Reading Conference, Moscow, 21-25 May 2012.

研究动机与目标

• 计算单纯复形上希尔伯特-施密特算子代数的局部霍赫希尔德同调，其中标准霍赫希尔德同调为平凡。
• 通过支持控制将亚历山大-斯潘纳同调构造嵌入霍赫希尔德同调，统一指标理论。
• 证明局部霍赫希尔德同调能检测底层空间 $X$ 的拓扑，克服算子代数标准同调的平凡性。
• 将框架扩展至施伦特 $\mathcal{L}^p$ 算子理想和迹类算子，暗示更广泛的应用性。

提出的方法

• 引入支持控制的霍赫希尔德复形 $C_{p, ho}$，其中链的支持位于对角线的 $\rho$-管状邻域内。
• 将霍赫希尔德复形分解为无间隙的对角子复形 $C^\Delta_\ast(HS)$ 和含间隙的子复形 $C^0_\ast(HS)$。
• 使用同伦算子 $s$ 证明 $C^0_\ast(HS)$ 的殆正则性，将同调计算简化为对角子复形。
• 在对角复形上定义同伦算子 $S$，表明任意 $p$-链同伦于仅使用固定标准正交基元素 $I$ 的链。
• 引入约化对角复形 $C^I_\ast(HS)$，其由仅使用 $I$ 的链构成，并构造新的同伦 $\tilde{S}$ 以计算其同调。
• 对 $X$ 进行精细的对称细分，使得链的支持位于对角线的管状邻域内，从而实现同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $HS(X)$ 的标准霍赫希尔德同调平凡时，局部霍赫希尔德同调能否检测单纯复形 $X$ 的拓扑？
• RQ2 是否存在 $HS(X)$ 的局部霍赫希尔德同调与 $X$ 的亚历山大-斯潘纳同调之间的自然同构？
• RQ3 霍赫希尔德复形中的支持控制如何恢复标准构造中丢失的拓扑信息？
• RQ4 基于小波的正交基结构在计算局部霍赫希尔德同调方面在多大程度上起到促进作用？
• RQ5 该同构是否可推广至其他施伦特理想，如 $\mathcal{L}^p$（$1 < p < 2$）或 $\mathcal{L}^1$？

主要发现

• 对于任意可数、局部有限、齐次单纯复形 $X$，局部霍赫希尔德同调 $H^{\text{loc}}_p(HS(X))$ 自然同构于亚历山大-斯潘纳同调 $H^{AS}_p(X)$。
• 只要单纯剖分足够精细，使得对角线的 $2^{p+2}\epsilon$-邻域构成管状邻域，该同构即成立。
• 完整霍赫希尔德复形的同调可约化为对角子复形 $C^\Delta_\ast(HS)$ 的同调，后者进一步通过同伦算子约化为子复形 $C^I_\ast(HS)$。
• 算子 $\theta_p$ 连续应用 $p+1$ 次可将任意 $p$-链同伦映射为仅使用固定标准正交基元素 $I$ 的链（在每个单纯形上）。
• 约化对角复形 $C^I_\ast(HS)$ 通过同伦 $\tilde{S}$ 计算出完整的局部霍赫希尔德同调，其中 $\tilde{S}$ 是 $\theta$ 的多项式。
• 该构造独立于康奈斯-莫斯科维茨定理 3.9，提供了该同构关系的新且自包含的证明。