[论文解读] Local integrands for the five-point amplitude in planar N=4 SYM up to five loops

Raquel G. Ambrosio, Burkhard Eden+3 more|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2013

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 30被引用 6

一句话总结

该论文利用能量-动量多重态四点相关函数的对偶共形对称性和图论方法，构建了平面N=4超杨-Mills理论中五点振幅在五圈内的完整局部积分表达式。该方法将先前对四点函数的研究扩展至五点振幅，得到了在对偶动量空间中简洁且显式局部的形式，其结果在三圈以内与已知的BCJ和超旋量表示一致。

ABSTRACT

Integrands for colour ordered scattering amplitudes in planar N=4 SYM are dual to those of correlation functions of the energy-momentum multiplet of the theory. The construction can relate amplitudes with different numbers of legs. By graph theory methods the integrand of the four-point function of energy-momentum multiplets has been constructed up to six loops in previous work. In this article we extend this analysis to seven loops and use it to construct the full integrand of the five-point amplitude up to five loops, and in the parity even sector to six loops. All results, both parity even and parity odd, are obtained in a concise local form in dual momentum space and can be displayed efficiently through graphs. We have verified agreement with other local formulae both in terms of supertwistors and scalar momentum integrals as well as BCJ forms where those exist in the literature, i.e. up to three loops. Finally we note that the four-point correlation function can be extracted directly from the four-point amplitude and so this uncovers a direct link from four- to five-point amplitudes.

研究动机与目标

• 将平面N=4超杨-Mills理论中局部积分表达式的构造从四点扩展至五点振幅。
• 利用能量-动量多重态相关函数与散射振幅之间的对偶性，生成五点振幅的积分表达式。
• 通过图论方法，将全振幅的构造扩展至五圈，parity-odd部分扩展至六圈。
• 确保所得积分表达式为局部形式，显式对偶共形，并与现有的超旋量和标量积分表示兼容。
• 通过四点相关函数在四点振幅中可提取的性质，建立四点与五点振幅之间的直接联系。

提出的方法

• 利用平面N=4超杨-Mills散射振幅与能量-动量张量多重态相关函数之间的对偶性。
• 对先前已构建至七圈的四点相关函数应用图论技术，推导五点振幅的积分表达式。
• 使用对偶动量空间变量，以局部且简洁的形式表达积分表达式，避免非局部的BCFW递归输出。
• 利用洛伦兹不变量和epsilon张量（如$ϵ_{123456}$）编码parity-odd结构，通过对称表达式保持平移不变性。
• 通过将$X_i$向量与参考向量$I$组合，将parity-odd不变量如$ϵ_{123456}$表示为标量不变量，从而与标量积分形式的文献结果进行比较。
• 通过求解分解式$Y = \sum \alpha_i X_i + \beta I$中的系数$\alpha_i, \beta$（其中$Y$为epsilon张量的对偶），利用行列式和恒等式在动量空间中表达结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在五圈以内，以局部且显式对偶共形的形式构建平面N=4超杨-Mills理论中五点振幅的积分表达式？
• RQ2 能量-动量多重态四点相关函数与五点振幅之间精确的数学结构是什么？
• RQ3 如何一致地编码积分表达式中的parity-odd结构，并将其表示为标量不变量？
• RQ4 结果与现有超旋量变量和BCJ表示中的局部形式在多大程度上一致？
• RQ5 四点相关函数能否直接用于生成五点振幅的积分表达式，从而在四点与五点振幅之间建立直接对偶关系？

主要发现

• 利用相关函数对偶性，成功在五圈以内构建了平面N=4超杨-Mills理论中五点振幅的完整局部、对偶共形积分表达式。
• 五点振幅的parity-odd部分在六圈以内被构建，扩展了先前的结果。
• 积分表达式以洛伦兹不变量和epsilon张量表示，通过如$\epsilon_{123456} \sim \sum \alpha_i x_{i6}^2 - \beta$等对称表达式保持平移不变性。
• 系数$\alpha_i$和$\beta$通过度量$(X_i \cdot X_j)$的矩阵求逆求得，结果以平方距离和四维张量$\epsilon(p_1,p_2,p_3,p_4)$的形式显式表达。
• 结果在三圈以内与已知的BCJ和超旋量形式一致，验证了与现有文献的一致性。
• 四点相关函数可直接从四点振幅中提取，从而通过能量-动量多重态建立了从四点到五点振幅的直接对偶路径。