[论文解读] Local inverse scattering at fixed energy in spherically symmetric asymptotically hyperbolic manifolds

Thierry Daudé, Damien Gobin+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2013

Numerical methods in inverse problems参考文献 30被引用 8

一句话总结

该论文通过固定能量的狄拉克波散射，建立了球对称渐近双曲流形的局部逆散射唯一性结果。通过球对称性将三维散射问题约化为一族以角动量 $ n $ 参数化的1维狄拉克方程，证明了：若已知左（或右）反射系数至误差项 $ O(e^{-2nB}) $ 的精度，即可唯一确定对应端点附近的度量，且该邻域的大小依赖于 $ B > 0 $。

ABSTRACT

In this paper, we adapt the well-known \\emph{local} uniqueness results of Borg-Marchenko type in the inverse problems for one dimensional Schr{\\"o}dinger equation to prove \\emph{local} uniqueness results in the setting of inverse \\emph{metric} problems. More specifically, we consider a class of spherically symmetric manifolds having two asymptotically hyperbolic ends and study the scattering properties of massless Dirac waves evolving on such manifolds. Using the spherical symmetry of the model, the stationary scattering is encoded by a countable family of one-dimensional Dirac equations. This allows us to define the corresponding transmission coefficients $T(\\lambda,n)$ and reflection coefficients $L(\\lambda,n)$ and $R(\\lambda,n)$ of a Dirac wave having a fixed energy $\\lambda$ and angular momentum $n$. For instance, the reflection coefficients $L(\\lambda,n)$ correspond to the scattering experiment in which a wave is sent from the \\emph{left} end in the remote past and measured in the same left end in the future. The main result of this paper is an inverse uniqueness result local in nature. Namely, we prove that for a fixed $\\lambda \ ot=0$, the knowledge of the reflection coefficients $L(\\lambda,n)$ (resp. $R(\\lambda,n)$) - up to a precise error term of the form $O(e^{-2nB})$ with $B\ extgreater{}0$ - determines the manifold in a neighbourhood of the left (resp. right) end, the size of this neighbourhood depending on the magnitude $B$ of the error term. The crucial ingredients in the proof of this result are the Complex Angular Momentum method as well as some useful uniqueness results for Laplace transforms.

研究动机与目标

• 将 Borg-Marchenko 类型的1维薛定谔算子局部唯一性结果，推广至三维/四维曲面流形上的逆度量问题。
• 研究具有两个端点的球对称渐近双曲流形（SSAHM）上无质量狄拉克波的逆散射问题。
• 确定在何种条件下，固定能量下的散射数据——特别是反射系数——可唯一恢复每个端点附近的局部度量。
• 分析复角动量方法与拉普拉斯变换唯一性定理在该几何设定下的逆问题中的作用。
• 建立一个局部唯一性结果，其中可恢复邻域的大小取决于反射数据中误差项 $ B $ 的衰减速率。

提出的方法

• 利用球对称性，将三维狄拉克方程分解为以角动量 $ n $ 参数化的可数个1维狄拉克方程族。
• 为固定能量 $ \lambda \neq 0 $ 和角动量 $ n $ 的波定义透射系数 $ T(\lambda,n) $ 与反射系数 $ L(\lambda,n) $、$ R(\lambda,n) $。
• 应用复角动量方法，将散射数据与复 $ z $-平面上反射振幅的解析结构联系起来。
• 利用拉普拉斯变换的唯一性结果，证明：若反射系数匹配至误差 $ O(e^{-2nB}) $，则可实现局部度量恢复。
• 分析复平面上反射振幅的零点，推导出渐近参数 $ \kappa_{\pm} $、$ a_{\pm} $ 的必要条件。
• 证明：若反射系数在 $ z $ 上至多相差一个有理函数，且已知附加数据（如透射系数或有限个反射值），则度量在平移意义下同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 当仅已知固定能量下的反射系数时，能否在三维渐近双曲流形上建立逆散射的局部唯一性？
• RQ2 反射系数数据中误差项 $ O(e^{-2nB}) $ 的衰减速率 $ B $ 如何影响度量可唯一重构区域的大小？
• RQ3 复角动量方法与拉普拉斯变换唯一性定理在该几何设定下，多大程度上能够实现从散射数据恢复度量？
• RQ4 在未掌握完整透射或反射系数的情况下，狄拉克波在 SSAHMs 上的逆散射问题是否仍具有局部可解性？
• RQ5 在何种条件下，可通过部分散射数据（如有限个反射系数与匹配的透射数据）恢复度量至等距同构？

主要发现

• 对于固定的 $ \lambda \neq 0 $，若左反射系数 $ L(\lambda,n) $ 的已知精度达到误差 $ O(e^{-2nB}) $，则可唯一确定左端附近的度量，且邻域大小依赖于 $ B > 0 $。
• 右反射系数 $ R(\lambda,n) $ 同样成立，表明在右端附近具有局部唯一性。
• 若反射系数 $ L(\lambda,n) $ 与 $ \tilde{L}(\lambda,n) $（相应地 $ R $）在 $ z $ 上至多相差一个有理函数，且透射系数 $ T(\lambda,n) $ 在满足 $ \sum_{n\in\mathcal{L}} 1/n = \infty $ 的集合 $ \mathcal{L} $ 上匹配，则度量在平移意义下同构。
• 当 $ \frac{1}{\kappa_+} + \frac{1}{\kappa_-} < 0 $ 时，若有限个反射值 $ L(\lambda,k) $ 与透射数据 $ T(\lambda,n) $ 在一个发散集合上匹配，则存在 $ \sigma \in \mathbb{R} $ 使得 $ \tilde{a}(x) = a(x + \sigma) $，即流形之间等距同构。
• 在给定条件下，渐近参数 $ \kappa_\pm $ 与 $ a_\pm $ 可由散射数据唯一确定。
• 本文猜想：仅凭反射系数至多相差一个有理函数，无法唯一确定度量至平移同构，此问题仍为开放问题。