[论文解读] Local regularity for nonlocal equations with variable exponents

Jamil Chaker, Minhyun Kim|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2021

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 44被引用 4

一句话总结

本论文建立了具有变指数 $p(x,y)$ 的非局部方程弱解的局部有界性与 Hölder 正则性，证明当 $p$ 连续且在定义域内满足 log-Hölder 型条件、在定义域外满足额外条件时，解是局部有界的，并且在满足 log-Hölder 型条件时具有局部 Hölder 连续性。结果通过 De Giorgi 型迭代与 Caccioppoli 估计，将经典正则性理论推广至非局部、变指数情形。

ABSTRACT

In this paper, we study local regularity properties of minimizers of nonlocal variational functionals with variable exponents and weak solutions to the corresponding Euler--Lagrange equations. We show that weak solutions are locally bounded when the variable exponent $p$ is only assumed to be continuous and bounded. Furthermore, we prove that bounded weak solutions are locally Hölder continuous under some additional assumptions on $p$. On the one hand, the class of admissible exponents is assumed to satisfy a log-Hölder-type condition inside the domain, which is essential even in the case of local equations. On the other hand, since we are concerned with nonlocal problems, we need an additional assumption on $p$ outside the domain.

研究动机与目标

• 建立具有变指数 $p(x,y)$ 的非局部变分泛函极小化元的局部正则性理论。
• 将经典局部 $p(x)$-Laplacian 方程的正则性结果推广至非局部分数阶 $p(x,y)$-Laplacian 方程。
• 确定确保弱解有界性与 Hölder 连续性的 $p(x,y)$ 的最小条件。
• 通过在定义域外引入 $p$ 的外部条件，应对非局部性带来的挑战。

提出的方法

• 引入具有变指数 $p(x,y)$ 的非局部变分泛函，以刻画分数阶 $p(x,y)$-Laplacian 方程。
• 定义与泛函相关的 Euler–Lagrange 方程的弱解，并建立其与极小化元之间的联系。
• 应用类 Caccioppoli 估计以控制解在球内振荡，从而实现正则性的迭代改进。
• 采用 De Giorgi 型迭代方案证明 Hölder 连续性，依赖于上水平集的衰减性质。
• 对 $p$ 施加两个关键条件：(P1) 在定义域内 $p$ 的 log-Hölder 型条件，以及 (P2) 在定义域外 $p$ 的单调性条件。
• 使用 dyadic 迭代与截断函数测试，以控制上水平集的增长并推导 Hölder 估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有变指数 $p(x,y)$ 的非局部 $p(x,y)$-Laplacian 方程的弱解是局部有界的？
• RQ2 经典局部 $p(x)$-Laplacian 方程中的 log-Hölder 连续性条件能否推广至非局部、变指数问题？
• RQ3 在仅满足内部 log-Hölder 条件的基础上，为确保非局部情形下的 Hölder 正则性，还需对 $p(x,y)$ 施加哪些额外条件？
• RQ4 $p(x,y)$ 在定义域外的行为如何影响非局部问题中解的正则性？
• RQ5 De Giorgi 迭代方法是否适用于具有变指数的非局部方程？若适用，需要进行哪些修改？

主要发现

• 当 $p(x,y)$ 连续且远离 1 与无穷大时，非局部 $p(x,y)$-Laplacian 方程的弱解是局部有界的。
• 在定义域内 $p$ 满足 log-Hölder 型条件 (P1) 时，有界弱解的局部 Hölder 连续性得以建立。
• 为控制非局部相互作用并确保正则性，必须在 $p(x,y)$ 的外部行为上施加额外条件 (P2)。
• 证明依赖于改进的 Caccioppoli 估计与考虑变指数和非局部性的修正 De Giorgi 迭代方案。
• 结果表明，log-Hölder 型条件 (P1) 是最优的：若其不成立，则导致 Hölder 正则性的丧失，与局部情形一致。
• 结果将经典局部 $p(x)$-Laplacian 方程的正则性理论推广至非局部、变指数情形，提供了完整的局部正则性框架。