[论文解读] Local unitary representations of the braid group and their applications to quantum computing

Colleen Delaney, Eric C. Rowell+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文通過 Jones 多項式，以基礎方式介紹了酉 braid 群表示，確立了其在拓撲量子計算中的角色。結果表明，當 r ≠ 1,2,3,4,6 時，在單位根處的 Jones 表示可實現通用量子計算，並允許對 Jones 多項式進行高效的量子近似，其中 k=1,2,4 水平的明確局部化對於物理實現尤為關鍵。

ABSTRACT

We provide an elementary introduction to topological quantum computation based on the Jones representation of the braid group. We first cover the Burau representation and Alexander polynomial. Then we discuss the Jones representation and Jones polynomial and their application to anyonic quantum computation. Finally we outline the approximation of the Jones polynomial and explicit localizations of braid group representations.

研究动机与目标

• 提供一個易於理解的介紹，闡述利用 braid 群表示的拓撲量子計算數學基礎。
• 建立 braid 群的 Jones 表示與物質拓撲相中任意任何任何子量子計算之間的聯繫。
• 證明當 q = e^{±2πi/r} 且 r ≠ 1,2,3,4,6 時，Jones 表示可實現通用量子計算。
• 表明即使在經典計算中 Jones 多項式屬於 #P-難問題，仍可被量子計算機高效近似。
• 提供 braid 群表示在 k=1,2,4 水平的明確局部化，這對於物理實現至關重要。

提出的方法

• 使用 braid 群的 Jones 表示作為源自 Temperley-Lieb-Jones 理論與 von Neumann 代數的酉表示。
• 應用 Burau 表示作為經典前驅，以激發量子情形的動機，並與 Alexander 多項式建立聯繫。
• 運用酉模分類 (UMCs) 和拓撲量子場論 (TQFT) 來形式化任意任何子與 braiding 的數學結構。
• 透過具有特定融合規則與 Bratteli 圖的分類模型，明確構造 Jones 表示在 k=2 和 k=4 水平的局部化。
• 透過分類中同態空間的計算，利用量子維數與單位根，推導出 TLJ_n(A) 不可約表示的維數公式。
• 在分類中使用 braiding 算子 c_{X,X}，定義 braid 生成元在任意任何子張量積上的作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 在單位根處的 Jones braid 群表示能否用於構建通用量子計算機？
• RQ2 雖然經典計算中 Jones 多項式是 #P-難問題，但能否被量子計算機高效近似？
• RQ3 在何種條件下，Jones 表示可被局部化為物理的、有限維的量子系統？
• RQ4 UMC 中任意任何子的融合規則與量子維數如何決定 braid 群表示的結構？
• RQ5 在哪些 k 水平下，Jones 表示可實現局部化？這與通用性有何關聯？

主要发现

• 當 q = e^{±2πi/r} 且 r ≠ 1,2,3,4,6 時，Jones 表示產生一個通用量子計算模型，如定理 1.1 所述。
• 對於任意整數 r ≥ 1，Jones 多項式可被量子計算機在多項式時間內高效近似，如定理 1.2 所示。
• 在 k=1,2,4 水平實現了 Jones 表示的明確局部化，其中 Ising 理論（k=2）與秩為 5 的分類（k=4）提供了具體模型。
• 對於奇數 n，表示 Hom(X, X^{igotimes n}) 的維數為 (3^{(n-1)/2} + 1)/2；對於 X' 則為 (3^{(n-1)/2} - 1)/2，顯示指數增長。
• Jones 表示可局部化當且僅當 k ∈ {1,2,4}，且通用性僅在表示不可局部化時成立。
• 在 k=4 水平給出的矩陣 R 提供了 braid 群表示在 9 維空間中的完整明確局部化。