[论文解读] Local well-posedness for the great lake equation with transport noise

Dan Crisan, Oana Lang|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 23被引用 4

一句话总结

本论文在2D环面上，于受浅水动力学启发的加权不可压缩条件下，建立了带输运噪声的随机大湖方程的局部适定性。通过引入广义的涡度-流函数算子，并采用带有紧致性论证的黏性逼近法，作者证明了路径唯一、概率强解的存在性，且初始光滑性在加权Sobolev空间中得以保持。

ABSTRACT

This work is a continuation of the authors' work for the stochastic 2D Euler equation driven by transport type noise. Here we lift the incompressibility constraint. Instead we assume a weighted incompressibility condition. This condition is inspired by a physical model for a fluid in a basin with a free upper surface and a spatially varying bottom topography. Moreover, we assume a different form of the vorticity to stream function operator that generalizes the standard Biot-Savart operator which appears in the Euler equation. These two properties are exhibited in the physical model called the great lake equation. For this reason we refer to the model analysed in this paper as the stochastic great lake equation. The new vorticity to stream function operator generalizes the curl operator and it is shown to have good regularity properties. We also show that the initial smoothness of the solution is preserved. The arguments are based on constructing a family of viscous solutions which is proved to be relatively compact and to converge to a truncated version of the original equation. Finally, we show that the truncation can be removed up to a positive stopping time.

研究动机与目标

• 将随机2D欧拉框架扩展至包含可变底部地形与非恒定不可压缩性，通过加权约束实现。
• 利用带输运噪声的随机涡度方程，对具有自由表面与空间变化水深的盆地中的流体动力学进行建模。
• 将Biot-Savart算子推广为尊重底部地形函数 $b$ 所诱导几何结构的涡度-流函数映射。
• 在加权Sobolev空间 $\mathcal{W}_{b}^{k,2}(\mathbb{T}^2)$ 中建立路径唯一、概率强解，保持初始正则性。
• 在正停时之前消除方程中的截断，确保解在局部时间上保持定义良好。

提出的方法

• 使用伊tô积分形式的随机积分来表述大湖方程，以保持Kelvin环流定理与能量守恒。
• 引入一个广义的涡度-流函数算子，替代标准的 $\boldsymbol{curl}$ 算子，并融入深度函数 $b$。
• 采用黏性逼近方案构造一族具有受控正则性与紧致性的解 $\omega^{\nu_n, R, n}_t$。
• 对高阶导数的 $L^2_b$-范数应用Itô公式，推导先验估计，包括对Itô校正项的控制。
• 利用Burkholder-Davis-Gundy不等式与Gronwall引理，对解的 $\mathcal{W}_{b}^{k,2}$-范数的二阶矩进行有界控制。
• 利用 $D([0,T], L^2_b(\mathbb{T}^2))$ 中的相对紧致性与引理20，取极限并恢复加权Sobolev空间中的解。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否证明带输运噪声的随机大湖方程在加权Sobolev空间中存在唯一的局部解？
• RQ2 广义的涡度-流函数算子在随机演化下表现如何？其是否保持正则性？
• RQ3 黏性逼近方法能否被调整以处理加权不可压缩条件 $\nabla \cdot (b u) = 0$？
• RQ4 非退化的底部地形 $b$ 在保持流体域的拓扑结构方面起何作用？
• RQ5 方程中的截断是否可在正停时之前被移除，从而确保解在局部时间上保持有效？

主要发现

• 随机大湖方程在加权Sobolev空间 $\mathcal{W}_{b}^{k,2}(\mathbb{T}^2)$ 中存在路径唯一且概率强的解，初始数据属于同一空间。
• 初始涡度的光滑性沿解轨迹几乎必然保持，由 $\mathcal{W}_{b}^{k,2}$-范数的统一先验界所证实。
• 建立了 $\mathcal{W}_{b}^{k,2}$-范数四阶矩的先验估计，满足 $\mathbb{E}[\sup_{s\in[0,T]}\|\omega_s^{\nu_n,R,n}\|_{b,k,2}^4] \leq \mathcal{C}(R,T)$，且对所有 $n$ 一致。
• 广义的涡度-流函数算子表现出良好的正则性性质，确保速度场由涡度受控。
• 方程中的截断可在正停时之前被移除，证实解在局部时间上存在且无需人工截断。
• 非退化性 $b$ 确保了域的几何结构受到影响，但其拓扑保持不变，这对适定性结果至关重要。