[论文解读] Local Whittaker-Newforms for GSp(4) matching to Langlands parameters

Takeo Okazaki|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2019

Advanced Algebra and Geometry参考文献 15被引用 11

一句话总结

本文通过构造一个与通用、不可约、非阿贝尔表示的朗兰兹参数相匹配的典范韦伊新形式，将 $GSp(4)$ 的局部新形式理论进行了推广。证明了新形式的最小水平等于解析导子数 $n_{\tilde{\pi}}$，且相应的韦伊函数通过zeta积分实现了标准 $L$-函数与 $\varepsilon$-因子，从而在表示论不变量与 $L$-参数之间建立了精确联系。

ABSTRACT

We extend the local newform theory of B. Roberts and R. Schmidt for generic, irreducible, admissible representations of PGSp(4) to that for GSp(4). The newform matches to the Langlands parameter.

研究动机与目标

• 将局部新形式理论从 $PGSp(4)$ 推广至 $GSp(4)$，同时保持与朗兰兹参数的兼容性。
• 以与 $L$-参数 $\phi_{\pi}$ 关联的解析导子数 $n_{\pi}$ 表示韦伊新形式的最小水平。
• 在韦伊模型中构造一个典范的韦伊向量，使其通过zeta积分实现标准 $L$-函数与 $\varepsilon$-因子。
• 证明对于温良表示，通用性等价于拟参数模性，推广了 $PGSp(4)$ 情况下的结果。

提出的方法

• 定义 $\mathbf{K}(m;\mathfrak{e})$ 与 $\mathbf{K}_1(m;\mathfrak{e})$ 为 $GSp(4,F)$ 的开紧致子群，作为参数模群的精化。
• 引入空间 $V(m)$，即 $\mathbf{K}_1(m;\mathfrak{e})$-不变的韦伊函数空间，称为水平 $m$ 的拟参数模形式，并将最小水平 $m_{\pi}$ 定义为满足 $V(m) \neq \{0\}$ 的最小 $m$。
• 利用 $P_3$-表示理论与修正的函数方程（定理 4.3），将zeta积分与 $L$-函数及 $\varepsilon$-因子关联。
• 证明：若非零 $W \in V(m_{\pi})$ 满足zeta积分恒等式 (1.2) 与 (1.3)，则必张成 $V(m_{\pi})$，从而推出 $m_{\pi} = n_{\pi}$。
• 分析在超临界与克林根诱导表示下 $V(m_{\pi})$ 上的赫克作用，以确立典范新形式的存在性。
• 利用theta对应与函数方程，比较 $L(s,\pi)$ 与 $L(s,\phi_{\pi})$，以及 $\varepsilon(s,\pi,\psi)$ 与 $\varepsilon(s,\phi_{\pi},\psi)$，证明二者相等。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $GSp(4,F)$ 的通用、不可约、非阿贝尔表示 $\pi$，其韦伊新形式的最小水平为何？它与该表示的朗兰兹参数 $\phi_{\pi}$ 的解析导子数 $n_{\pi}$ 有何关系？
• RQ2 能否在 $\pi$ 的韦伊模型中构造一个典范的韦伊向量，使其通过zeta积分实现标准 $L$-函数与 $\varepsilon$-因子？若能，其条件为何？
• RQ3 新形式的最小水平是否等于解析导子数 $n_{\pi}$？空间 $V(m_{\pi})$ 是否为一维？
• RQ4 对于 $GSp(4,F)$ 的温良表示 $\pi$，其通用性是否蕴含拟参数模性，反之亦然？
• RQ5 $\pi$ 的 $L$-函数与 $\varepsilon$-因子是否与它的朗兰兹参数 $\phi_{\pi}$ 的对应函数相等？这一结论如何通过zeta积分与函数方程验证？

主要发现

• 对于表示 $\pi$，其韦伊新形式的最小水平 $m_{\pi}$ 等于其朗兰兹参数 $\phi_{\pi}$ 的解析导子数 $n_{\pi}$，即 $m_{\pi} = n_{\pi}$。
• 水平 $m_{\pi}$ 的拟参数模形式空间 $V(m_{\pi})$ 为一维，且包含唯一（在标量倍数意义下）满足zeta积分恒等式的韦伊函数 $W$。
• zeta积分 $\int_{F^\times} W(\text{diag}(t,t,1,1)) |t|^{s-3/2} d^\times t = L(s,\phi_{\pi})$ 对典范新形式 $W \in V(m_{\pi})$ 成立，与标准 $L$-函数一致。
• 扭曲的zeta积分 $\int_{F^\times} W(\text{diag}(t,1,1,-t) \cdot \text{shift}) \omega_{\pi}(t)^{-1} |t|^{s-3/2} d^\times t = q^{\mathfrak{e}} \varepsilon_{\pi} L(s,\phi_{\pi}^\vee)$ 实现了 $\varepsilon$-因子及其对偶。
• $\pi$ 的 $L$-函数 $L(s,\pi)$ 与 $L(s,\phi_{\pi})$ 一致，$\varepsilon$-因子 $\varepsilon(s,\pi,\psi)$ 与 $\varepsilon(s,\phi_{\pi},\psi)$ 也一致，该结论通过theta对应与函数方程得到验证。
• 对于温良表示，通用性与拟参数模性等价，将 $PGSp(4)$ 情况下的结果推广至 $GSp(4)$。