[论文解读] Localization techniques in circle-equivariant KK-theory

Heath Emerson|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2010

Advanced Operator Algebra Research参考文献 20被引用 3

一句话总结

本文在圆群等变KK-理论中发展了局部化技术，表明某些 $\tau$-C*-代数——包括陈-克里格代数——尽管属于布施基特类别，却并非 $K\sp{\mathbb{T}}$-等价于交换的 $\mathbb{T}$-C*-代数。本文建立了 $K\sp{\mathbb{T}}$-理论中的等变Lefschetz不动点公式，将 $K\sp{\mathbb{T}}$-自同态的 $\mathbb{C}[X,X^{-1}]$-值迹与几何重合圈的Atiyah-Singer $\mathbb{T}$-指标联系起来。

ABSTRACT

Let T be the circle and A be a T-C*-algebra. Then the T-equivariant K-theory of A is a module over the representation ring of the circle. The latter is a Laurent polynomial ring. Using the support of the module as an invariant, and techniques of Atiyah, Bott and Segal, we deduce that there are examples of T-C*-algebras A not KK^T-equivalent to any commutative T-C*-algebra. This is in contrast to the non-equivariant situation, in which any C*-algebra in the boostrap category is KK-equivalent to a commutative one. Our examples arise from dynamics, and include Cuntz-Krieger algebras with their usual circle actions. Using similar techniques, we also prove an equivariant version of the Lefschetz fixed-point formula. This is a special case of a result with Ralf Meyer that applies to general compact connected groups. The Lefschetz theorem equates the module trace of the module map of the T-equivariant K-theory of a smooth compact manifold induced by an equivariant self-correspondence of the manifold, with an appropriate Kasparov product; the Kasparov product is the T-equivariant index of the Dirac operator on a suitable `coincidence manifold' of the correspondence. Finally, we prove several results related to localization and the Kunneth and universal coefficient theorems, and give an essentially complete description of the T-equivariant K-theory of compact spaces, by combining localization techniques of Atiyah and Segal and results of Paul Baum and Alain Connes for equivariant K-theory of finite group actions.

研究动机与目标

• 识别 $K\sp{\mathbb{T}}$-理论中阻碍某些 $\mathbb{T}$-C*-代数与交换代数 $K\sp{\mathbb{T}}$-等价的障碍。
• 通过 $K\sp{\mathbb{T}}$-理论与几何对应关系，将经典Lefschetz不动点理论推广至等变情形。
• 证明Cuntz-Krieger代数 $O_A$ 的 $K\sp{\mathbb{T}}(O_A)$ 的支撑可以是任意代数整数，违反了交换 $\mathbb{T}$-C*-代数的支撑约束。
• 建立精确公式，将 $K\sp{\mathbb{T}}$-自同态的 $\mathbb{C}[X,X^{-1}]$-值迹与几何圈的Atiyah-Singer $\mathbb{T}$-指标相等。
• 提供基于光滑 $\mathbb{T}$-流形上不动点数据与表示论的等变Lefschetz数的计算框架。

提出的方法

• 使用Atiyah-Bott-Segal局部化技术分析 $K\sp{\mathbb{T}}(A)$ 作为 $\mathrm{Rep}(\mathbb{T}) \cong \mathbb{C}[X,X^{-1}]$-模的支撑，识别非交换性的障碍。
• 从 $\mathbb{C}[X,X^{-1}]$-模 $K\sp{\mathbb{T}}(A)$ 构造 $\mathbb{C}^*$-上的层模，并利用Zariski局部化探测其支撑。
• 通过将模压缩至自由部分，定义 $K\sp{\mathbb{T}}$-自同态的 $\mathbb{C}[X,X^{-1}]$-值迹。
• 通过将 $\mathbb{T}$-等变Baum-Douglas圈与几何对应关系关联，制定等变Lefschetz定理，并计算其 $\mathbb{T}$-指标。
• 应用Atiyah-Singer指标定理，将重合圈的 $\mathbb{T}$-指标与自同态的 $\mathbb{C}[X,X^{-1}]$-迹联系起来。
• 通过自同态算子在 $K\sp{\mathbb{T}}(X)$ 上的最小多项式，显式计算迹的例子，例如 $\mathbb{CP}^1$ 上的 $\mathbb{T}$-作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 在布施基特类别中，$K\sp{\mathbb{T}}$-理论能否检测到阻碍 $K\sp{\mathbb{T}}$-等价性的非交换障碍？
• RQ2 在标准 $\mathbb{T}$-作用下，Cuntz-Krieger代数 $O_A$ 的 $K\sp{\mathbb{T}}(O_A)$ 的支撑是什么？与交换 $\mathbb{T}$-C*-代数有何不同？
• RQ3 经典Lefschetz不动点公式如何推广至 $KK^\mathbb{T}$-理论中的 $\mathbb{T}$-等变几何对应关系？
• RQ4 $K\sp{\mathbb{T}}$-自同态的 $\mathbb{C}[X,X^{-1}]$-值迹与几何圈的Atiyah-Singer $\mathbb{T}$-指标之间的确切关系是什么？
• RQ5 矩阵 $A$ 的特征值如何与 $K\sp{\mathbb{T}}(O_A)$ 作为 $\mathbb{C}[X,X^{-1}]$-模的谱数据相关联？

主要发现

• 对于局部紧的 $\mathbb{T}$-空间 $X$，$K\sp{\mathbb{T}}(C_0(X))$ 的支撑始终包含于单位圆周或为整个 $\mathbb{C}^*$，而这一约束被Cuntz-Krieger代数所违反。
• 对于Cuntz-Krieger代数 $O_A$，$K\sp{\mathbb{T}}(O_A)$ 的支撑是 $0$-$1$ 矩阵 $A$ 的非零特征值的集合，这些值可以是任意代数整数，从而证明其不与任何交换 $\mathbb{T}$-C*-代数 $K\sp{\mathbb{T}}$-等价。
• 等变Lefschetz公式表明：$\mathrm{trace}_{\mathbb{C}[X,X^{-1}]}(f_*) = \mathrm{ind}_{\mathbb{T}}(\mathrm{Lef}(f))$，将同调不变量与几何 $\mathbb{T}$-指标相等。
• 对于具有孤立不动点的光滑 $\mathbb{T}$-流形 $X$，迹 $\mathrm{trace}_{\mathbb{C}[X,X^{-1}]}(\lambda_\xi)$ 等于所有不动点 $P$ 上 $\xi_P$ 的和，其中 $\xi_P \in \mathbb{C}[X,X^{-1}]$ 是 $\xi$ 在 $P$ 处的限制。
• 在 $\mathbb{CP}^1$ 上标准 $\mathbb{T}$-作用的情形下，$\mathrm{trace}_{\mathbb{C}[X,X^{-1}]}(\lambda_{[H]}^k) = X^k + X^{-k}$，通过 $K\sp0_{\mathbb{T}}(\mathbb{CP}^1)$ 上自同态的最小多项式计算得出。
• 对于固定点流形 $F$ 上的 $\mathbb{T}$-不变向量丛，公式 $e_X([E]) = \chi(F)\sum_\lambda \dim_{\mathbb{C}}(E_\lambda) f_\lambda$ 成立，其中 $f_\lambda$ 是 $\mathbb{T}$-作用在特征子空间 $E_\lambda$ 上的特征标。