[论文解读] Localized Morrey-Campanato Spaces on Metric Measure Spaces and Applications to Schrödinger Operators

Dachun Yang, Dongyong Yang+1 more|ArXiv.org|Mar 26, 2009

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 20被引用 10

一句话总结

本文在同类型度量测度空间上引入了局部化的Morrey-Campanato空间及其对偶空间，建立了其与局部化Hardy空间和BMO型空间的等价性。证明了径向最大算子、Poisson最大算子以及Littlewood-Paley g-函数在这些空间上的有界性，特别针对满足逆Hölder条件的势函数的Schrödinger算子，适用于欧几里得空间、Heisenberg群及幂零李群。

ABSTRACT

Let ${\mathcal X}$ be a space of homogeneous type in the sense of Coifman and Weiss and ${\mathcal D}$ a collection of balls in $\cx$. The authors introduce the localized atomic Hardy space $H^{p, q}_{\mathcal D}({\mathcal X})$ with $p\in (0,1]$ and $q\in[1,\infty]\cap(p,\infty]$, the localized Morrey-Campanato space ${\mathcal E}^{α, p}_{\mathcal D}({\mathcal X})$ and the localized Morrey-Campanato-BLO space $\widetilde{\mathcal E}^{α, p}_{\mathcal D}({\mathcal X})$ with $\az\in{\mathbb R}$ and $p\in(0, \infty)$ and establish their basic properties including $H^{p, q}_{\mathcal D}({\mathcal X})=H^{p, \infty}_{\mathcal D}({\mathcal X})$ and several equivalent characterizations for ${\mathcal E}^{α, p}_{\mathcal D}({\mathcal X})$ and $\wz{\mathcal E}^{α, p}_{\mathcal D}({\mathcal X})$. Especially, the authors prove that when $p\in(0,1]$, the dual space of $H^{p, \infty}_{\mathcal D}({\mathcal X})$ is ${\mathcal E}^{1/p-1, 1}_{\mathcal D}({\mathcal X})$. Let $ρ$ be an admissible function modeled on the known auxiliary function determined by the Schrödinger operator. Denote the spaces ${\mathcal E}^{α, p}_{\mathcal D}({\mathcal X})$ and $\widetilde{\mathcal E}^{α, p}_{\mathcal D}({\mathcal X})$, respectively, by ${\mathcal E}^{α, p}_ρ({\mathcal X})$ and $\widetilde{\mathcal E}^{α, p}_ρ({\mathcal X})$, when ${\mathcal D}$ is determined by $ρ$. The authors then obtain the boundedness from ${\mathcal E}^{α, p}_ρ({\mathcal X})$ to $\widetilde{\mathcal E}^{α, p}_ρ({\mathcal X})$ of the radial and the Poisson semigroup maximal functions and the Littlewood-Paley $g$-function which are defined via kernels modeled on the semigroup generated by the Schrödinger operator.

研究动机与目标

• 将Morrey-Campanato理论推广至同类型度量测度空间上的局部化空间，无需假设反 doubling 条件。
• 建立局部化Hardy空间与Morrey-Campanato空间之间的对偶性，将经典结果推广至局部化情形。
• 分析与Schrödinger算子相关的算子——径向最大算子、Poisson算子及g-函数——在局部化Morrey-Campanato空间上的有界性。
• 将结果应用于Rd上的Schrödinger算子与退化Schrödinger算子、Heisenberg群及幂零李群。
• 通过源自势论的可接受函数，统一并推广先前关于与Schrödinger算子相关的BMO型空间与Hardy空间的研究成果。

提出的方法

• 为 $p \in (0,1]$，$q \in [1,\infty] \cap (p,\infty]$，$\alpha \in \mathbb{R}$ 定义局部化原子Hardy空间 $H^{p,q}_D(X)$、局部化Morrey-Campanato空间 $E^{\alpha,p}_D(X)$ 以及局部化Morrey-Campanato-BLO空间 $\tilde{E}^{\alpha,p}_D(X)$。
• 建立关键恒等式，如 $H^{p,q}_D(X) = H^{p,\infty}_D(X)$ 与对偶空间刻画：$(H^{p,\infty}_D(X))^* = E^{1/p - 1, 1}_D(X)$，其中 $p \in (0,1]$。
• 引入一个可接受函数 $\rho$，其形式基于Schrödinger算子中属于逆Hölder类势函数的辅助函数。
• 通过Schrödinger算子 $L = -\Delta + V$ 生成的半群 $\{e^{-tL}\}$ 所导出的核，定义径向最大算子 $T^+$、Poisson最大算子 $P^+$ 以及Littlewood-Paley $g$-函数。
• 利用热核估计与Calderón-Zygmund理论，证明 $T^+$ 与 $P^+$ 从 $E^{\alpha,p}_\rho(X)$ 到 $\tilde{E}^{\alpha,p}_\rho(X)$ 有界。
• 证明 $g$-函数在 $L^p(X)$ 上的 $L^p$-有界性（$p \in (1,\infty)$），并证明 $[g(f)]^2 \in \tilde{E}^{2\alpha,p/2}_\rho(X)$，且满足范数控制 $\| [g(f)]^2 \|_{\tilde{E}^{2\alpha,p/2}_\rho} \leq C \|f\|^2_{E^{\alpha,p}_\rho}$，从而推出 $g(f) \in \tilde{E}^{\alpha,p}_\rho(X)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不依赖反 doubling 条件的前提下，如何在度量测度空间中对Morrey-Campanato空间进行局部化？
• RQ2 对于 $p \in (0,1]$，局部化Hardy空间 $H^{p,\infty}_D(X)$ 的对偶空间是什么？
• RQ3 在何种条件下，局部化Morrey-Campanato空间 $E^{\alpha,p}_D(X)$ 与局部化BLO空间 $\tilde{E}^{\alpha,p}_D(X)$ 等价？
• RQ4 径向最大算子与Poisson最大算子在与Schrödinger算子相关的局部化Morrey-Campanato空间上的有界性行为如何？
• RQ5 Littlewood-Paley $g$-函数在这些空间上的行为如何？其平方是否可映射至缩放后的Morrey-Campanato空间？

主要发现

• 当 $\alpha > 0$ 且 $p \in [1,\infty)$ 时，有 $\tilde{E}^{\alpha,p}_\rho(X) = E^{\alpha,p}_\rho(X) = \text{Lip}_D(\alpha; X)$，即与局部Lipschitz空间等价。
• 对于 $p \in (0,1]$，$H^{p,\infty}_D(X)$ 的对偶空间为 $E^{1/p - 1, 1}_D(X)$，扩展了Morrey-Campanato理论中的经典对偶性结果。
• 在Heisenberg群上，当 $\alpha < \min\{1/(2n+2) - 1/(2q), 1/(3n+3) - 1/(3q)\}$ 时，径向最大算子 $T^+$ 与Poisson最大算子 $P^+$ 有界，映射从 $E^{\alpha,p}_\rho(X)$ 到 $\tilde{E}^{\alpha,p}_\rho(X)$。
• 对于 $f \in E^{\alpha,p}_\rho(X)$，有 $\| [g(f)]^2 \|_{\tilde{E}^{2\alpha,p/2}_\rho} \leq C \|f\|^2_{E^{\alpha,p}_\rho}$，其中 $C$ 与 $f$ 无关，从而推出 $g(f) \in \tilde{E}^{\alpha,p}_\rho(X)$。
• 在具有齐次维数 $D$ 的连通单连通幂零李群上，算子分别在 $\alpha < 1/D - 1/(2q)$ 与 $\alpha < 2/(3D) - 1/(3q)$ 时有界。
• 这些结果推广了已知的在 $BMO_\rho(X)$ 与 $BLO_\rho(X)$ 上的有界性结果（当 $\alpha = 0$ 时），并将 [32] 中的早期结果作为特例恢复。