[论文解读] Localizing Virtual Cycles by Cosections

Young‐Hoon Kiem, Jun Li|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用 11

一句话总结

本文提出了一种基于障碍层的余截面的代数几何中虚拟循环的新定位技术。通过构造一个局部化的Gysin映射，作者证明了虚拟循环会定位到余截面非满射的退化点集上，从而定义了一个局部化的虚拟循环，该循环仅在类由关于全纯二形式的“零”映射表示时才非零。该方法推广并恢复了具有全纯二形式的曲面的格罗莫夫-威滕不变量的相关结果。

ABSTRACT

We show that a cosection of the obstruction sheaf of a perfect obstruction theory localizes the virtual cycle to the non-surjective locus of the cosection. We give algebraic constructions of localized Gysin maps and localized virtual cycles. Various applications of these constructions are discussed.

研究动机与目标

• 开发一种在稳定映射模空间及其他几何不变量中对虚拟循环进行定位的新方法。
• 解决当标准技术失效时（特别是在存在全纯二形式的情况下）计算虚拟循环的挑战。
• 推广李-帕克关于具有全纯二形式的曲面的格罗莫夫-威滕不变量的定位结果。
• 通过余截面定位定义约化虚拟基本类，适用于卡拉比-丘三流形和希尔伯特概形。

提出的方法

• 为具有亚纯余截面 $ \rho $ 的向量丛 $ E $ 构造一个局部化Gysin映射 $ s_{E,\rho}^{!} $，其定义在满射性点集的补集上。
• 定义 $ E(\rho) = E|_{{\cal M}(\sigma)} \cup \ker(\rho) $，其中 $ {\cal M}(\sigma) $ 是余截面 $ \sigma $ 的非满射点集。
• 证明固有法丛位于余截面的核锥丛堆栈中，从而实现局部化虚拟循环的构造。
• 利用局部化Gysin映射在 $ A_*{\cal M}(\sigma) $ 中定义局部化虚拟循环 $ [{\cal M}]^{\mathrm{vir}}_{\mathrm{loc}} $。
• 通过包含映射 $ \iota: {\cal M}(\sigma) \to {\cal M} $ 建立局部化Gysin映射与标准Gysin映射之间的相容性。
• 通过零截面的横截扰动，给出局部化Gysin映射的解析定义，并证明其与代数定义在循环到同调类比较下等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 当障碍层允许余截面时，模空间的虚拟循环是否可以定位到子簇上？
• RQ2 如何为具有亚纯余截面的向量丛定义局部化Gysin映射？
• RQ3 局部化虚拟循环与环境空间中原有的虚拟循环之间有何关系？
• RQ4 该技术能否恢复或推广已知的定位结果，例如李-帕克关于具有全纯二形式的曲面的格罗莫夫-威滕不变量的结果？
• RQ5 当余截面为正则且满射时，该构造是否能产生约化虚拟基本类？

主要发现

• 虚拟循环 $ [{\cal M}]^{\mathrm{vir}} $ 通过局部化虚拟循环 $ [{\cal M}]^{\mathrm{vir}}_{\mathrm{loc}} \in A_*{\cal M}(\sigma) $ 定位到余截面 $ \sigma $ 非满射的点集 $ {\cal M}(\sigma) $ 上。
• 局部化虚拟循环满足 $ [{\cal M}]^{\mathrm{vir}} = \iota_*[ {\cal M}]^{\mathrm{vir}}_{\mathrm{loc}} $，其中 $ \iota: {\cal M}(\sigma) \to {\cal M} $ 是包含映射。
• 对于具有全纯二形式 $ \theta $ 的光滑拟射影概形 $ X $，若 $ \beta $ 不由关于 $ \theta $ 的“零”稳定映射表示，则 $ \overline{\cal M}_{g,n}(X,\beta) $ 的虚拟基本类为零。
• 当余截面为正则且满射时，该构造产生一个约化虚拟基本类，推广了奥库诺夫-潘德哈里普德的约化类构造。
• 局部化Gysin映射与标准Gysin映射相容：$ \iota_* \circ s_{E,\sigma}^! = s_E^! \circ \tilde{\iota}_* $。
• 通过横截扰动构造了局部化Gysin映射的解析定义，并通过循环到同调类的比较证明其与代数定义一致。