[论文解读] Localizing virtual structure sheaves by cosections

Young‐Hoon Kiem, Jun Li|arXiv (Cornell University)|May 26, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文引入了在具有完美障碍理论和障碍层余截面的Deligne-Mumford堆栈上，对虚拟结构层的K-理论余截面局部化。通过在余截面的支撑上定义局部化的Gysin映射，构造了$K_0(X(\sigma))$中的虚拟结构层，该层将虚拟周期上拓至代数K-理论，从而实现变形不变的K-理论不变量，并将结果推广至Gromov-Witten与Fan-Jarvis-Ruan-Witten不变量。

ABSTRACT

We construct a cosection localized virtual structure sheaf when a Deligne-Mumford stack is equipped with a perfect obstruction theory and a cosection of the obstruction sheaf.

研究动机与目标

• 将余截面局部化从查沃群推广至代数K-理论，通过构造K-理论虚拟结构层。
• 在$K_0$-理论中定义局部化的虚拟欧拉特征，即使模空间不为完备时仍保持良好定义。
• 将[6,7]中关于余截面局部化虚拟周期的结果提升至K-理论设定，特别是针对FJRW不变量。
• 通过虚拟欧拉特征建立K-理论版本的Landau-Ginzburg/Calabi-Yau对应关系。
• 证明构造对全局解析的选取具有独立性，并在变形下保持不变。

提出的方法

• 利用余截面下锥$C_1$的支撑，定义余截面局部化的Gysin映射$0^{!}_{E_1,\sigma}: K_0(E_1(\sigma)) \to K_0(X(\sigma))$。
• 将局部化的虚拟结构层构造为$[\mathscr{O}^{\mathrm{vir}}_{X,\mathrm{loc}}] = 0^{!}_{E_1,\sigma}[\mathscr{O}_{C_1}] \in K_0(X(\sigma))$。
• 利用上推和局部化Gysin映射的交换性，将问题约化为在$X(\sigma)$上进行爆破的情形，其中正合列被变形为分裂情形。
• 利用$E_1(\sigma)$是$E_1|_{X(\sigma)}$与$\ker(\sigma: E_1|_U \to \mathscr{O}_U)$的并集这一事实，其中$U = X \setminus X(\sigma)$。
• 通过变形不变性与虚拟基本类的相容性，确保构造对解析选取的独立性。
• 通过在爆破上约化至分裂正合列，建立与Chiodo的K-理论类$Ke(E^\vee, \tau^\vee)$的比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将虚拟周期的余截面局部化从查沃群提升至代数K-理论？
• RQ2 所得到的K-理论虚拟结构层是否对完美障碍理论的全局解析选取具有独立性？
• RQ3 即使模空间不为完备，能否在$K_0$-理论中定义并计算局部化的虚拟欧拉特征？
• RQ4 通过局部化虚拟欧拉特征，K-理论版本的Landau-Ginzburg/Calabi-Yau对应关系是否成立？
• RQ5 局部化的虚拟结构层与现有K-理论不变量（如Chiodo类）有何关系？

主要发现

• 余截面局部化的虚拟结构层$[\mathscr{O}^{\mathrm{vir}}_{X,\mathrm{loc}}] \in K_0(X(\sigma))$是良好定义的，且对全局解析$[E^{-1} \to E^0]$的选取具有独立性。
• 该构造满足$\imath_*[\mathscr{O}^{\mathrm{vir}}_{X,\mathrm{loc}}] = [\mathscr{O}^{\mathrm{vir}}_X] \in K_0(X)$，确保与全局虚拟结构层的相容性。
• 局部化的虚拟结构层具有变形不变性，其类在模空间的变形下保持不变。
• 余截面局部化的虚拟欧拉特征$\chi^{\mathrm{vir}}_{\mathrm{loc}}(X,\beta)$定义为$\sum_i (-1)^i \dim H^i(X(\sigma), \beta \cdot \mathscr{O}^{\mathrm{vir}}_{X,\mathrm{loc}})$，即使$X$不为完备时也成立。
• Chiodo的K-理论类$Ke(E^\vee, \tau^\vee)$在$K_0(S)$中与$[\mathscr{O}^{\mathrm{vir}}_{X,\mathrm{loc}}]$一致，建立了与现有K-理论构造的直接联系。
• 对于费马五次曲面的Gromov-Witten模型，有$\chi^{\mathrm{vir}}_{\mathrm{loc}}(\overline{M}_g(\mathbb{P}^4,d)^p) = (-1)^{5d - g + 1} \chi^{\mathrm{vir}}(N)$，证明了LG/CY对应关系的K-理论版本。