[论文解读] Invariants of pure 2-dimensional sheaves inside threefolds and modular forms

Amin Gholampour, Artan Sheshmani|arXiv (Cornell University)|May 6, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 34被引用 7

一句话总结

本文研究了三种几何结构中纯二维层的唐纳森-托马斯不变量——K3纤维化、ℙ²的典范丛，以及具有正线丛的卡拉比-丘三倍体——证明了其模形式性质，并通过几何与组合方法验证了乔伊丝-松的整数性猜想，给出了基于已知模形式及欧拉示性数、MNOP不变量等的显式公式。

ABSTRACT

Motivated by S-duality modularity conjectures in string theory, we study the Donaldson-Thomas type invariants of pure 2-dimensional sheaves inside a nonsingular threefold X in three different situations: (1). X is a K3 fibration over a curve. We study the Donaldson-Thomas invariants of the 2 dimensional Gieseker stable sheaves in X supported on the fibers. Analogous to the Gromov-Witten theory formula established in the work of Maulik-Pandharipande, we express these invariants in terms of the Euler characteristic of the Hilbert scheme of points on the K3 surface and the Noether-Lefschetz numbers of the fibration, and prove that the invariants have modular properties. (2). X is the total space of the canonical bundle of P^2. We study the generalized Donaldson-Thomas invariants defined by Joyce-Song of the moduli spaces of the 2-dimensional Gieseker semistable sheaves on X with first Chern class equal to k times the class of the zero section of X. When k=1,2 or 3, and semistability implies stability, we express the invariants in terms of known modular forms. We prove a combinatorial formula for the invariants when k=2 in the presence of the strictly semistable sheaves, and verify the BPS integrality conjecture of Joyce-Song in some cases. (3). (Joint with Richard Thomas) X is a Calabi-Yau threefold and L is a sufficiently positive line bundle. We define new invariants counting a restricted class of 2-dimensional torsion sheaves, enumerating pairs (Z,H) in X where H is a member of the linear system |L| and Z is a 1-dimensional subscheme of H. The associated sheaf is the ideal sheaf of Z in H, pushed forward to X and considered as a certain Joyce-Song pair in the derived category of X. We express these invariants in terms of the MNOP invariants of X.

研究动机与目标

• 在K3纤维化三倍体中，建立二维层的唐纳森-托马斯不变量的模形式性质。
• 计算ℙ²的典范丛上层的广义DT不变量，特别针对k=1,2,3的情况。
• 通过乔伊丝-松对，定义卡拉比-丘三倍体上线性系统中1维子概形的计数新不变量。
• 在涉及严格半稳定层的特定情形下，验证乔伊丝-松的BPS整数性猜想。
• 将新不变量与卡拉比-丘三倍体中的MNOP不变量建立联系。

提出的方法

• 对于K3纤维化，将不变量表示为K3曲面上点的希尔伯特概形的欧拉示性数与诺特-莱夫谢茨数的函数。
• 对于ℙ²的典范丛，利用乔伊丝-松广义DT理论，定义第一陈类为零截面类k倍的层的不变量。
• 当k=2时，通过生成函数技术，推导出在严格半稳定层贡献下不变量的组合公式。
• 在卡拉比-丘情形下，通过配对(Z,H)定义不变量，其中H ∈ |L|，Z是H中的一维子概形，其关联层被前推至X。
• 利用导出范畴技术，将H中Z的层视为X的导出范畴中的乔伊丝-松对。
• 建立一个公式，将新不变量表示为环境卡拉比-丘三倍体的MNOP不变量。

实验结果

研究问题

• RQ1 在K3纤维化中，二维戈耶克-稳定层的唐纳森-托马斯不变量如何与希尔伯特概形的欧拉示性数及诺特-莱夫谢茨数相关？
• RQ2 ℙ²的典范丛上二维层的广义DT不变量是否可表示为已知模形式，当k=1,2,3时？
• RQ3 当严格半稳定层贡献时，DT不变量的组合结构是什么，特别是当k=2时？
• RQ4 如何定义并关联计数卡拉比-丘三倍体上线性系统中1维子概形的新不变量与现有不变量？
• RQ5 新不变量在多大程度上满足乔伊丝-松的BPS整数性猜想？

主要发现

• 在K3纤维化情形下，不变量被证明为模形式，其显式表达式涉及K3曲面点的希尔伯特概形的欧拉示性数与诺特-莱夫谢茨数。
• 对于ℙ²的典范丛，当k=1,2,3时，广义DT不变量可表示为已知模形式，证实了其模形式性质。
• 当k=2时，即使存在严格半稳定层，也推导出了DT不变量的组合公式，提供了具体的计算工具。
• 乔伊丝-松的BPS整数性猜想在涉及严格半稳定层的特定情形下得到验证，支持了其在这些设定下的有效性。
• 在卡拉比-丘三倍体情形下，计数对(Z,H)的新不变量被证明可表示为环境三倍体的MNOP不变量，建立了不同枚举理论之间的深层联系。