[论文解读] Locally Decodable Codes with Randomized Encoding

Kuan Cheng, Xin Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2020

Cryptography and Data Security参考文献 23被引用 6

一句话总结

本文提出了一种带有随机编码的局部可解码码，显著改进了汉明误差和编辑误差下的速率-查询权衡。通过利用随机编码和具有抗错误块结构的分层解码，作者实现了次多项式查询复杂度和常数速率码，克服了标准LDC中长期存在的局限性。

ABSTRACT

We initiate a study of locally decodable codes with randomized encoding. Standard locally decodable codes are error correcting codes with a deterministic encoding function and a randomized decoding function, such that any desired message bit can be recovered with good probability by querying only a small number of positions in the corrupted codeword. This allows one to recover any message bit very efficiently in sub-linear or even logarithmic time. Besides this straightforward application, locally decodable codes have also found many other applications such as private information retrieval, secure multiparty computation, and average-case complexity. However, despite extensive research, the tradeoff between the rate of the code and the number of queries is somewhat disappointing. For example, the best known constructions still need super-polynomially long codeword length even with a logarithmic number of queries, and need a polynomial number of queries to achieve a constant rate. In this paper, we show that by using a randomized encoding, in several models we can achieve significantly better rate-query tradeoff. In addition, our codes work for both the standard Hamming errors, and the more general and harder edit errors.

研究动机与目标

• 为解决局部可解码码（LDC）中长期存在的上下界差距，特别是标准构造中速率-查询权衡表现不佳的问题。
• 探索随机编码是否能在对抗性错误模型下提升LDC的速率并降低查询复杂度。
• 构建高效的LDC，能够同时容忍汉明误差和编辑误差，同时保持次线性解码时间和常数速率的码字。
• 研究通过随机编码实现具有灵活失败概率的常数速率LDC的可行性。
• 扩展LDC在更一般错误模型（包括无偏见和编辑错误）中的适用性，此前这些模型下的构造较弱或不存在。

提出的方法

• 采用两层编码：首先使用编辑错误纠正码对消息块进行编码；其次通过排列和分块编码应用随机编码，以增强鲁棒性。
• 采用分层解码策略，每一层使用利用编码随机性的随机解码函数来解码块。
• 引入一种块排列方案（π），将编码块映射到码字位置，以在解码期间实现高效的定位恢复。
• 使用索引的二进制表示来指导块的放置和解码，确保每个查询都能被映射回正确的消息块。
• 采用递归解码过程，每层仅查询对数多项式数量的块，通过重复查询控制失败概率。
• 通过在排列块上使用鲁棒搜索和解码算法，将汉明误差和编辑误差的构造相结合，确保对插入和删除的鲁棒性。

实验结果

研究问题

• RQ1 随机编码是否能显著改善局部可解码码在汉明误差和编辑误差下的速率-查询权衡？
• RQ2 是否可以使用随机编码构造出具有对数多项式查询复杂度的常数速率LDC？
• RQ3 在不了解编码随机性的情况下解码是否仍能成功，此类模型下会产生何种性能权衡？
• RQ4 对手对编码随机性的知识如何影响随机LDC的安全性和效率？
• RQ5 是否可以使用随机编码技术进一步降低无偏见信道下的查询复杂度？

主要发现

• 所提出的构造在局部可解码码中实现了常数速率和对数多项式查询复杂度，具体为 $ q = \mathsf{polylog}\,k \cdot \log\frac{1}{\varepsilon} $，相比先前构造有显著改进。
• 该构造能容忍常数比例的编辑错误，并在对抗性污染下仍保持高解码成功率 $ 1 - \varepsilon $。
• 通过使用随机编码和分层块解码，码字长度减少至 $ O(n) $，其中 $ n = \Theta(k \log k) $，实现了消息长度 $ k $ 的常数速率。
• 即使码字被 $ \delta = O(1) $ 比例的编辑错误所污染，解码算法仍能以高概率仅通过子线性数量的查询成功恢复任意消息位。
• 该构造高效，解码时间在 $ n $ 上为多项式时间，并可通过调整查询重复次数灵活控制失败概率。
• 该方法显著缩小了已知上界与LDC参数下界之间的差距，特别是在 $ r = \mathsf{polylog}\,k $ 查询的范围内。