[论文解读] Synchronization Strings: Efficient and Fast Deterministic Constructions over Small Alphabets

Kuan Cheng, Xin Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2017

DNA and Biological Computing参考文献 18被引用 9

一句话总结

本论文首次实现了在小字母表上、确定性地以近乎线性时间构造同步字符串，字母表大小为 $O(\varepsilon^{-4})$，构造时间为 $O(n \cdot (\log\log n)^2)$，当 $\varepsilon \geq C(\log\log n)^2 / \log n$ 时成立。论文提出了一种同步字符串与插入删除码之间的新联系，使得通过级联码和递归分解实现高效构造成为可能。

ABSTRACT

Synchronization strings are recently introduced by Haeupler and Shahrasbi [HS17a] in the study of codes for correcting insertion and deletion errors (insdel codes). A synchronization string is an encoding of the indices of the symbols in a string, and together with an appropriate decoding algorithm it can transform insertion and deletion errors into standard symbol erasures and corruptions. This reduces the problem of constructing insdel codes to the problem of constructing standard error correcting codes, which is much better understood. Besides this, synchronization strings are also useful in other applications such as synchronization sequences and interactive coding schemes. Amazingly, [HS17a] showed that for any error parameter $\varepsilon>0$, synchronization strings of arbitrary length exist over an alphabet whose size depends only on $\varepsilon$. Specifically, they obtained an alphabet size of $O(\varepsilon^{-4})$, as well as a randomized construction that runs in expected time $O(n^5)$. However, it remains an interesting question to find deterministic and more efficient constructions. In this paper, we improve the construction in [HS17a] in three aspects: we achieve a smaller alphabet size, a deterministic construction, and a faster algorithm. Along the way we introduce a new combinatorial object, and establish a new connection between synchronization strings and insdel codes --- such codes can be used in a simple way to construct synchronization strings. This new connection complements the connection found in [HS17a], and may be of independent interest. In an independent work [HS17c], Haeupler and Shahrasbi also give deterministic constructions of synchronization strings over arbitrary length (or even infinite length). Their constructions can achieve linear construction time, but have alphabet size $\varepsilon^{-O(1)}$, which may be larger than ours.

研究动机与目标

• 为解决先前工作中随机化且构造缓慢的同步字符串构造这一开放问题，提出确定且高效的构造方法。
• 在保持强错误校正保证的前提下，减少同步字符串所需的字母表大小。
• 建立插入删除码与同步字符串之间新的、反向的联系，使得可通过编码方法构造同步字符串。
• 在误差参数 $\varepsilon$ 的合理假设下，实现近乎线性时间的同步字符串构造。

提出的方法

• 提出一种新的组合对象——同步圈，作为同步字符串的构建模块。
• 采用两级递归构造：首先在大小为 $O(\varepsilon^{-3})$ 的字母表上，构造长度为 $m' = O(\frac{1}{\varepsilon^2} \log n (\log\log n + \log \frac{1}{\varepsilon}))$ 的基础同步圈。
• 使用外层 Reed-Solomon 码和内码距离为 $1-O(\varepsilon)$ 的级联纠错码（ECC），在字母表大小 $O(\varepsilon^{-1})$ 下生成 $n$ 个码字。
• 将基础同步圈与级联 ECC 结合，生成在字母表大小 $O(\varepsilon^{-4})$ 下的最终 $\varepsilon$-同步字符串。
• 应用递归去随机化策略，将构造时间从多项式时间降低至近乎线性时间 $O(n \cdot (\log\log n)^2)$。
• 利用新建立的联系：插入删除码可用于构造同步字符串，逆转了先前工作中发现的反向关联。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在小字母表大小和近乎线性时间内，确定性地构造同步字符串？
• RQ2 是否存在插入删除码与同步字符串之间的反向联系，使得码可用于构造同步字符串？
• RQ3 能否将确定性同步字符串构造的字母表大小降低至 $O(\varepsilon^{-4})$ 以下？
• RQ4 在小字母表上，确定性同步字符串构造的最小运行时间是多少？
• RQ5 通过调整字母表大小与运行时间之间的权衡，能否使构造在 $\varepsilon$ 较小时也保持高效？

主要发现

• 本论文首次提出在字母表大小为 $O(\varepsilon^{-4})$ 下，对 $\varepsilon$-同步字符串的确定性构造，优于文献 [11] 中的随机化 $O(\varepsilon^{-4})$ 构造。
• 当 $\varepsilon \geq C(\log\log n)^2 / \log n$（$C>1$ 为某常数）时，构造时间复杂度为 $O(n \cdot (\log\log n)^2)$，达到近乎线性时间。
• 建立了一种新联系：插入删除码可用于构造同步字符串，补充了已有从同步字符串到插入删除码的联系。
• 构造采用两级递归方法，结合级联纠错码，使用 Reed-Solomon 外码和高距离内码。
• 字母表大小保持为 $O(\varepsilon^{-4})$，与目前已知的最佳随机化构造一致，但实现了完全的确定性与更高的效率。
• 当 $\varepsilon$ 为常数时，运行时间为 $n$ 的多项式时间；当 $\varepsilon$ 超过某一阈值时，运行时间接近线性，显著优于文献 [11] 中的 $O(n^5)$ 期望时间。