[论文解读] Loewy series of Weyl modules and the Poincaré polynomials of quiver varieties

Ryosuke Kodera, Katsuyuki Naoi|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 14被引用 9

一句话总结

本文证明了A型和D型Weyl模在当前代数中的刚性，即其根系列与层系列一致，并证明了当前代数的次数赋予的分次与来自亏格图的同调分次相匹配。作为关键结果，它推导出关于零级基本表示的晶体上能量函数的亏格图的Poincaré多项式公式，从而解决了这些情况下的X=M猜想。

ABSTRACT

We prove that a Weyl module for the current Lie algebra associated with a simple Lie algebra of type $ADE$ is rigid, that is, it has a unique Loewy series. Further we use this result to prove that the grading on a Weyl module defined by the degree of currents coincides with another grading which comes from the degree of the homology group of the quiver variety. As a corollary we obtain a formula for the Poincaré polynomials of quiver varieties of type $ADE$ in terms of the energy functions defined on the crystals for tensor products of level-zero fundamental representations of the corresponding quantum affine algebras.

研究动机与目标

• 确定ADE型当前代数的Weyl模的Loewy结构。
• 建立当前代数的次数分次与亏格图的同调分次之间的等价性。
• 利用晶体能量函数推导出亏格图的Poincaré多项式的公式。
• 证明量子仿射代数ADE型零级基本表示的张量积的X=M猜想。

提出的方法

• 利用仿射李代数的Weyl模与Demazure模之间的同构，证明Weyl模的刚性。
• 应用Weyl模的分次结构以及与亏格图的标准模的对应关系，比较分次。
• 在Lakshmibai-Seshadri路径晶体模虚根的度函数D上使用，以表达Poincaré多项式。
• 利用Chari-Loktev、Fourier-Littelmann和Naoi关于一维和与能量函数的结果，建立分次特征的联系。
• 利用同构M(λ) ≅ W(λ)，将标准模与Weyl模的分次特征等同。
• 应用Lusztig的猜想和Mozgovoy的变体，确认费米子形式与一维和相等。

实验结果

研究问题

• RQ1 ADE型当前代数的Weyl模是否具有唯一的Loewy序列，即是否为刚性？
• RQ2 由Weyl模中电流的次数定义的分次是否与亏格图的同调分次一致？
• RQ3 亏格图的Poincaré多项式能否用零级基本表示的晶体上的能量函数表示？
• RQ4 X=M猜想是否对ADE型量子仿射代数的零级基本表示的张量积成立？
• RQ5 对于这些表示，费米子形式M(λ,μ,t)与N(λ,μ,t)是否相等？

主要发现

• ADE型的Weyl模W(λ)是刚性的，即其根系列与层系列一致。
• 由电流次数定义的Weyl模的分次与亏格图同调的分次一致。
• 亏格图的Poincaré多项式为 ∑α∈Q+∑k=0dα dim Hk(ℒ(α,λ)) t^{dα−k} e^{λ−α} = ∑μ∈P+ M(λ,μ,t−2) ch V(μ)。
• X=M猜想对ADE型量子仿射代数的零级基本表示的张量积已得证。
• 等式X(λ,μ,t) = M(λ,μ,t)成立，确认费米子形式等于一维和。
• 对于A型，公式 ∑k=0dα dim Hk(ℒ(α,λ)) t^k = ∑T∈T(α,λ) t^{2l(T)} 通过保持度数的双射在表格与晶体路径之间匹配。