[论文解读] Log canonical thresholds in positive characteristic

Zhixian Zhu|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用 5

一句话总结

本文在任意特征的完美域上，建立了弧空间中不可约闭圆柱与光滑代数簇上离散赋值之间的一一对应关系，从而在不使用极小模型极化的情况下证明了MUSTAÇA的对数典范阈值公式。通过利用沿光滑中心的爆破变换的变量代换公式，作者将特征零中的关键结果推广至正特征，包括模p约化下的比较定理以及对偶性逆定理的一个版本。

ABSTRACT

In this paper, we study the singularities of a pair (X,Y) in arbitrary characteristic via jet schemes. For a smooth variety X in characteristic 0, Ein, Lazarsfeld and Mustata showed that there is a correspondence between irreducible closed cylinders and divisorial valuations on X. Via this correspondence, one can relate the codimension of a cylinder to the log discrepancy of the corresponding divisorial valuation. We now extend this result to positive characteristic. In particular, we prove Mustata's log canonical threshold formula avoiding the use of log resolutions, making the formula available also in positive characteristic. As a consequence, we get a comparison theorem via reduction modulo p and a version of Inversion of Adjunction in positive characteristic.

研究动机与目标

• 将弧空间中圆柱与离散赋值之间的对应关系从特征零推广至任意特征。
• 在不依赖极小模型极化的情况下证明MUSTAÇA的对数典范阈值公式。
• 建立模p约化下对数典范阈值的比较定理。
• 在正特征中证明对偶性逆定理的一个版本。
• 将动机积分技巧推广至正特征情形，用于奇点理论。

提出的方法

• 利用喷射概形 $X_m$ 和弧空间 $X_\infty$，研究子概形 $Y \subset X$ 的接触集 $\mathrm{Cont}^p(Y)$ 与 $\mathrm{Cont}^{\geq p}(Y)$。
• 为不支配 $X$ 的不可约闭圆柱 $C \subset X_\infty$ 定义圆柱赋值 $\operatorname{ord}_C$，并将其与离散赋值联系起来。
• 通过余维数的归纳法证明：每个圆柱赋值均可由离散赋值导出，反之亦然，且仅使用沿光滑中心的爆破变换的变量代换公式。
• 应用变量代换公式，将圆柱的余维数与离散赋值的对数分歧数联系起来。
• 利用该对应关系导出对数典范阈值公式：$\operatorname{lct}(X,Y) = \min_m \left\{ \frac{\operatorname{codim}(Y_m, X_m)}{m+1} \right\}$，该公式在任意特征下成立。
• 证明 $\operatorname{lct}(X,Y) = \operatorname{lct}(\overline{X}, \overline{Y})$ 对于完美域成立，表明其在代数闭包下的不变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将弧空间中圆柱与离散赋值之间的对应关系从特征零推广至正特征？
• RQ2 MUSTAÇA的对数典范阈值公式在正特征下是否无需使用极小模型极化也成立？
• RQ3 对数典范阈值在正特征下对代数闭包的基变换是否保持不变？
• RQ4 能否利用喷射概形在正特征中证明对偶性逆定理的一个版本？
• RQ5 在正特征中，变量代换公式在动机积分与奇点理论中起什么作用？

主要发现

• 本文建立了 $X_\infty$ 中不支配 $X$ 的不可约闭圆柱与离散赋值之间的一一对应关系，且满足 $\operatorname{ord}_C = q \cdot \operatorname{ord}_E$，其中 $E$ 为 $X$ 上的某除子，$q > 0$。
• 此类圆柱的余维数满足 $\operatorname{codim} C \geq q \cdot (1 + \operatorname{ord}_E(K_{X'/X}))$，且在对应关系中取等号。
• 对数典范阈值由公式 $\operatorname{lct}(X,Y) = \min_m \left\{ \frac{\operatorname{codim}(Y_m, X_m)}{m+1} \right\}$ 给出，该公式在任意特征下成立。
• 对数典范阈值在代数闭包下保持不变：对完美域有 $\operatorname{lct}(X,Y) = \operatorname{lct}(\overline{X}, \overline{Y})$。
• 在正特征中存在对偶性逆定理的一个版本：对光滑除子 $H \subset X$，有 $\operatorname{lct}_Z(X,Y) \geq \operatorname{lct}_Z(H, H \cap Y)$。
• 本文证明了 $\operatorname{lct}_x(X,Y) \geq 1/\operatorname{ord}_x(Y)$，从而推出在代数闭域上的光滑概形中，对任意真闭子概形有 $\operatorname{lct}(X,Y) > 0$。